Blatt3

Übungen zur Theoretischen Physik II
Quantenmechanik I
SS 2004
Prof. H. Büttner
Blatt 3
Abgabe: Montag, 10. Mai 2004, bis 14 Uhr
vor Zi. 01.504
Bitte Namen des Übungsleiters auf der Abgabe angeben!
(6 Punkte)
Aufgabe 9: Zur Klein-Gordon-Gleichung
Die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Ruhemasse m lautet
1 2
m2 c2
2
∂ − ∂x + 2
ψ(x, t) = 0.
c2 t
~
(Notation: ∂z ≡
∂
∂z )
Aus dieser Gleichung lässt sich eine Kontinuitätsgleichung der Form
∂t ̺ + ∂x j = 0
herleiten. Dabei ist ̺ eine Dichte und die Stromdichte j ist gegeben durch
j=
~
(ψ ∗ ∂x ψ − ψ∂x ψ ∗ ).
2mi
(a) Bestimmen Sie aus obigen Angaben einen Ausdruck für die Dichte ̺.
(b) Verwenden Sie den Ansatz
i
ψ(x, t) = u(x) exp − Et
~
für eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung und bestimmen Sie u(x). Für welche Werte von
E existieren Lösungen?
(c) Berechnen Sie die Dichte ̺ für den Ansatz aus (b). Lässt sich ̺ als Wahrscheinlichkeitsdichte
interpretieren?
Aufgabe 10: Beschleunigtes Wellenpaket
(6 Punkte)
Betrachten Sie ein beschleunigtes Wellenpaket der Form
(
)
F 2 2
√
−1/2
x − 2m
t
F 2
i
ψ(x, t) = α~ π(1 + it/t0 )
Ft x −
t − 2 2
exp
~
6m
2~ α (1 + it/t0 )
mit t0 = m~α2 . Berechnen Sie die Erwartungswerte hx̂i und hp̂i jeweils als Funktion der Zeit.
(Zusatzaufgabe falls Sie Maple oder Mathematica zu Verfügung haben: Berechnen Sie außerdem
hx̂2 i und hp̂2 i, dann die Standardabweichungen ∆x und ∆p sowie deren Produkt.)
(5 Punkte)
Aufgabe 11: Ehrenfest Theorem
Betrachten Sie ein freies Teilchen der Masse m in einer Raumdimension. Zur Zeit t = 0 befinde
sich das Teilchen am Ort x0 und besitze den Impuls p0 .
(a) Verwenden Sie die Ehrenfest-Gleichungen um den Erwartungswert hp̂i(t) zu berechnen und
zeigen Sie, dass hx̂i(t) = p0 t/m + x0 ist.
2
i
(b) Zeigen Sie, dass m dhx̂
dt = 2hp̂ x̂i + i~ und
dhp̂2 i
dt
= 0 ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Varianzen (∆x)2 und (∆p)2 von Ort und Impuls die Differenzialgleichung
m2
d2
(∆x)2 = 2(∆p)2
dt2
erfüllen und begründen Sie, warum man die Varianz des Ortes in der Form
(∆x)2 = (∆p)20 t2 /m2 + (∆x)20
schreiben kann. [(∆x)20 und (∆p)20 sind Varianzen zur Zeit t = 0.]
(3 Punkte)
Aufgabe 12: Kommutatoren
(a) Gegeben seien die Matrizen
σ1 =
0 1
1 0
!
,
σ2 =
0 −i
i 0
!
,
σ3 =
1
0
0 −1
!
.
Berechnen Sie die Kommutatoren der Matrizen untereinander, d. h. [σ1 , σ2 ], [σ2 , σ3 ] und
[σ3 , σ1 ].
(b) Gegeben sei der Drehimpulsoperator

L̂x


L̂ =  L̂y  = r̂ × p̂.
L̂z

Berechnen Sie die Kommutatoren [L̂x , L̂y ], [L̂y , L̂z ] und [L̂z , L̂x ].