Nachholklausur zur Einführung in die Quantenmechanik und

Prof. Dr. E. Epelbaum
Sommersemester 2015
Nachholklausur zur Einführung in die Quantenmechanik und Statistik
Donnerstag, 24.09, 10:00–13:00, H-NB, Ruhr-Universität Bochum
(Bitte in Blockschrift angeben)
Name:
Gruppe:
Matrikelnummer:
Aufgabe
Punkte
Max. Punkte
1
2
3
4
5
6
∑
15
10
15
15
10
15
80
• Die Klausur beinhaltet 6 Aufgaben. Die Bearbeitungszeit beträgt 3 Stunden.
• Die maximal erreichbare Gesamtpunktzahl beträgt 80 Punkte. Das Erreichen von 70 Punkten
wird als 100% gewertet. Zum Bestehen der Klausur benötigt man mindestens 35 Punkte.
• Die Bonuspunkte, die bei den Hausaufgaben gesammelt wurden, werden zu den Klausurpunkten addiert und können maximal 10% betragen.
Viel Erfolg!
Aufgabe 1 (2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 = 15 Punkte)
(a) Sei Ψ(~r,t) eine zeitabhängige
Lösung der Schrödingergleichung mit einem zeitabhängigen PoR
tential. Bleibt das Integral R3 Ψ∗ (~r,t)Ψ(~r,t)d3 r zeitlich konstant? Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Welche Messgröße ist für einen stationären quantenmechanischen Zustand stets eindeutig, d.h.
zeigt keine Unschärfe?
(c) Geben Sie den Ausdruck des Bahndrehimpulses ~L in Impulsdarstellung an.
(d) Berechnen Sie den Kommutator von
d
dx
und 1x .
(e) Wie ist der Dichteoperator ρ̂ definiert? Wie kann man feststellen, ob ρ̂ einen reinen Zustand
beschreibt?
3
V
(f) Kann S(U,V, N) = θ NU
mit θ > 0 eine korrekte fundamentale thermodynamische Relation
sein? Begründen Sie Ihre Antwort.
(g) Ein thermodynamisches System sei durch die Variablen S, p, N charakterisiert. Wie lautet das
entsprechende thermodynamische Potential? Geben Sie die explizite Form ausgehend von
U(S,V, N) an.
Aufgabe 2 (5 + 5 = 10 Punkte)
Ein Teilchen der Masse m bewege sich ein einer Dimension in der Umgebung des Potentials
V (x) = −V0 a δ (x),
V0 > 0,
a > 0.
(a) Bestimmen Sie die Anschlussbedingungen am Punkt x = 0. Gehen Sie dazu davon aus, dass die
Wellenfunktion stetig und normierbar und daher insbesondere überall endlich ist, |ψ(x)| < ∞.
(b) Lösen Sie die Schrödingergleichung für den Fall E < 0 und bestimmen Sie die Energie des
gebundenen Zustands.
Aufgabe 3 (3+2+1+4+5 = 15 Punkte)
Ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m wird von x = ∞ kommend am Halbraum-Potential
V (x) gestreut (s. Zeichnung). Das Teilchen befindet sich in einem stationären Zustand ϕ(x) mit der
Energie E. Das Teilchen bewegt sich in einer räumlichen Dimension.
(a) Begründen Sie, warum für ϕ(x) gilt:
· in Bereich 1: ϕ(x) = ϕ1 (x) = 0,
· in Bereich 2: ϕ(x) = ϕ2 (x) = A2 (E) sin(k2 x),
· in Bereich 3: ϕ(x) = ϕ3 (x) = e−ik3 x − r(E)eik3 x
mit den Konstanten A2 (E) und r(E).
(b) Welchen (stationären) Schrödingergleichungen gehorchen ϕ2 (x) und ϕ3 (x)? Geben Sie die
Wellenzahlen in den Bereichen 2 und 3 an.
(c) Welche Anschlussbedingungen gelten bei x = a?
(d) Leiten Sie eine Gleichung zur Berechnung dr Relfektionsamplitude r(E) her.
(e) Berechnen Sie r(E) und zeigen Sie, dass sich r(E) = e2iδ mit δ ∈ R darstellen lässt. Berechnen Sie die Streuphase δ (E) und die Normierungskonstante A2 (E). Welchen Wert nimmt die
Streuphase für V0 → 0 an?
Aufgabe 4 (3 + 5 + 7 = 15 Punkte)
Ein Teilchen der Masse m bewege sich im eindimensionalen Oszillatorpotential V (x) = 21 mω 2 x2
mit ω > 0. Seien {|ni} die Energieeigenzustände des Hamiltonoperators mit den zugehörigen Energieeigenwerten En = h̄ω(n + 12 ). Betrachten Sie ein System, dessen Zustand zum Zeitpunkt t = 0
durch die folgende Linearkombination beschrieben wird:
i
1
|Ψ(0)i = √ |0i + √ |1i
2
2
(a) Es wird zum Zeitpunkt t > 0 eine Energiemessung durchgeführt. Wie groß sind die jeweiligen
Wahrscheinlichkeiten, E0 , E1 , E2 zu messen?
(b) Berechnen Sie die Erwartungswerte des Orts und Impulses als Funktion der Zeit.
(c) Berechnen Sie die Wellenfunktion des Systems.
Nützliche Formeln: Die Leiteroperatoren â und ↠sind definiert als
r
r
mω
i p̂x
mω
i p̂x
†
â =
x̂ +
, â =
x̂ −
.
2h̄
mω
2h̄
mω
Aufgabe 5 (2 + 4 + 4 = 10 Punkte)
Ein Teilchen befindet sich in einem Zustand, der durch die folgende, dreidimensionale Wellenfunktion
Ψ(r) = K (2x − 2y + z) e−αr
beschrieben wird, wobei K und α reelle und positive Konstanten sind.
(a) Geben Sie den Erwartungswert von L2 für die obige Wellenfunktion an.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Lz = h̄ zu messen? Was ist der Erwartungswert von Lz ?
(c) Berechnen Sie die Erwartungswerte hLy i und hLy2 i .
Nützliche Formeln:
r
Y00 =
1
,
4π
r
r
1 3
1
3 ±iφ
Y10 =
cos(θ ) , Y1±1 = ∓
e sin(θ ) ,
2 π
2 2π
p
L± Yl m = l(l + 1) − m(m ± 1) h̄ Yl m±1 .
Aufgabe 6 (5 + 5 + 5 = 15 Punkte)
Betrachten Sie ein System von N identischen aber unterscheidbaren Teilchen. Jedes dieser Teilchen
hat genau zwei Energieniveaus mit den Energien ±ε. Beide Energieniveaus sind nicht entartet.
(a) Die Gesamtenergie des Systems sei E. Berechnen Sie die Entropie, ausgehend vom mikrokanonischen Ensemble.
(b) Ausgehend von der Entropie, berechnen Sie die kalorische Zustandsgleichung und die Freie
Energie F(T, N).
(c) Verifizieren Sie das Ergebnis für F(T, N) über das kanonische Ensemble.