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SS05
Klausurzur Theoretischen
PhvsikIV. Ouantentheorie
Schakel, Giaurr, Nogueira
Termin: Donnerstag,den 14.07.05,10-12h
Inforrnation
(bitte zuerst lesen)
r Nur fünf der sechs Aufgaben müssen bearbeitet werden. Alle Aufgaben sind mit 4 Punkten
gleich gewichtet. Geben Sie rechts oben auf dem ersten Blatt neben Ihrem Namen und der
Immatrikulationsnummer an, welche Aufgabe Sie abgewählt haben.
o Die Klausur besteht, wer mindestens 50% der Gesamtpunktzahl (d.h. > 10 Punkte) erreicht.
o Hilfsmittel: keine
1. Aufgabe
Ein Teilchen mit normierter Wellenfunktion
l
l-;Ä
4 l t l r \ -- . 1 - Y \ L t
t /
a
1
q
ö
v T r'+a'
wobei a > 0 ist. sei gegeben.
(a) Zeigen Sie, dassT/(r) die Fourier-Rücktransformiertevonl1,&):
t/2trae-"lkl ist.
(b) Berechnen Sie die Errvartungswerte (i) und (p).
(c) Berechnen Sie AzAp.
H'inwe'is:Konvention für die Fouriertransformation: ,b@) : [:*dklQliutk'r!'(k).
a. AndereIntegra,ielassensich durch Abieitungen nach a berechnen.
Ii*a, l@'*12):rf
2.Aufgabe
Der Hamilton-Operator eines eindimensionaien Problems sei
ü : 1
' n " "
+ v \x)2Mp-
(a) Zeigen Sie, dass \"lpl"') : i(M lh,)(8. - E.,)\nlftln')
Eigenzustand ln) von I1 ist.
ist, wobei E, der Energieeigenwertzum
(b) Benutzen Sie die Vollständigkeit der ln)-Basis und das Ergebnis der Teilaufgabe (a), um die
E-,)21(nliln')12.
folgendeGleichungherzuleiten:(fi,zlM2)\nlp'lr):L^,(8,*
3. Aufgabe
Betrachten Sie einen eindimensionalen harmonischen Oszillator mit Masse M und Frequenz c,-,,der
durch den Hamiiton-Operator
H":fio'+ff"i'
beschriebenwird. Der Oszillator sei zusätzlich eiektrisch geladen mit Ladung e. In einem zeitabhängieE(t)i zu erweitern. Sei
gen elektrischenFeld ,E(t) ist I/o dann um das Potential V(t,ft) :
o(t) : (d'(t)lal,/(i)), wobei ä der Vernichtungsoperatorund ltl(t)) der normierte Zustand des gelad e r r e nO s z i i l a t o r ss i n d .
(a) Zeigen Sie, dass
gg
dt
ist, rn'obeiXt):
eE(llrtrMlu.
: -ic..'o(r)+
i)(r)
(b) Lösen Sie die obige Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung rr(0) - 0 und berechnen
Sie die Eru'artungswerte(i(t)) und (p(t)) zum Zeitpunkt t.
Hinweis. Benutzen Sie den Ansatz CI(t) : c(t)exp(-iut).
Formelsammluno:
h A/t,.'
h
,^+
+ a),
2Ma''"
2 '
4. Aufgabe
Ein geladenesTeilchen mit Ladung e und Masse M bewege sich in einem externen magnetischen
Induktionsfeld B : V x A(x). Der Geschwindigkeitsoperatorist gegebendurch
ar-
1,^
^A
^ /( -x-J\l r.
- e
Mlp
(a) ZeigenSie, dassi. folgendeVertauschungsrelation10,,üo]: i(ehlM2)8, erfüllt.
H'inweis: lpi, F'(*)l : -ifi}Fl0u.
(b) Betrachten Sie ein Teilchen, das sich in der rg-Ebene bewegt. Der Hamilton-Operator ist
gegebenals
n :
*6x
Mi)2,
mit l dem Trägheitsmoment des Teilchensund i dem oben angegebenenGeschwindigkeitsoperator. Das Vektorpotential A(x) sei in Zylinderkoordinaten(r,g,z) durch A(*):
QlQnr)e*
gegeben, mit r : \F +7 und iD ) 0. Berechnen Sie die Energieeigenwerteund bestimmen
Sie die niedrigsteEnergie des Zustandesmit Drehimpuls l:1.
Hinweis:L'U,^):fi2\+L)ll,rn)undL"1t,m1
:hmll,m),wobei_ l.'-m<lmitl:0,I,2,...
ist.
5. Aufgabe
Ein Teilchen der Masse M wird gestreut an einem Potential V(x). Die Schrödinger-Gleichungdes
Svstems iautet
( v 2 + k z ) i l ) ( *:)2 4 v ( x ) T / ( x ) .
nz
-gd(x)
Berechnen Sie für das Potential V(x) :
mit d(x) der Diracschen Deltafunktion, die Streuamplitude /(9) in der Bornschen Näherung.
Hinweis: Benutzen Sie das asymptotische Verhalten der Wellenfunktion /(*) - "ikx a f (g)eik lr
und, dass G(x) : -eik" f (4m) mit r = lxl die GreenscheFunktion des Operators V2 + k2 ist.
6. Aufgabe
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse M und Ladung e, das sich auf einem Kreis vom Radius o in der
rg-Ebene bewegt. Der Hamilton-Operator des ungestörten Systems lautet in Zylinderkoordinaten
\ r , 9 , z)
Ho:
n-
o'
2Ma2 0p2'
Es wird als Störung ein schwacheselektrisches Feld F in der r-Richtung angelegt. Der gesamte
H a m i l t o n - O p e r a t o r l a u t e t d a nH
n:Ho*Fr,wobei
frt:eaFcos,p.BerechnenSiedieEnergieeigenwerte in erster und zweiter Näherung.
Forrnelsammlung:
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