x y P O Q
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Übungsblatt P10 zur Newtonschen Mechanik und Speziellen Relativitätstheorie Prof. K. Hornberger, Dr. J. Madroñero Infos siehe http://www.uni-due.de/tqp Abgabe bis Donnerstag 17.1.2012 11:00 Uhr in den Briefkasten der Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490) Geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab! Aufgabe P30 — Konservative und nicht konservative Kraftfelder Gegeben sind die Kraftfelder x 2 2 F 1 = α(x + y ) y 0 x F 2 = α(2x2 + y 2 ) y 0 (8 Punkte) −x α F 3 = (x2 + y 2 ) y 2 0 (a) Bestimmen Sie die Rotation der Vektorfelder. (b) Betrachten Sie die Kurven C1 = OQ und C2 = OP Q, wobei O der Koordinatenursprung, P = (1, 0, 0) und Q = (1, 1, 0) ist. Berechnen Sie für die Felder F 1 und F2 jeweils die Arbeit entlang C1 und C2 . Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem aus der Vorlesung bekannten Kriterium für konservative Kräfte. y O Q P x Aufgabe P31 — Kleine Schwingungen (7 Punkte) Eine masselose anharmonische Feder besitzt die potentielle Auslenkungsenergie VF (z) = C 4 z , 4 wobei z die Längenänderung der Feder bezeichnet und C eine dimensionsbehaftete Konstante ist. Eine Masse m wird im Schwerefeld der Erde an der Feder aufgehängt. (a) Skizzieren Sie die gesamte potentielle Energie der Masse als Funktion der Auslenkung z. Dabei soll die positive z-Achse in Richtung der Schwerkraft zeigen. (b) Für welche Auslenkung z0 der Feder bleibt die Masse in Ruhe? (c) Für kleine Auslenkungen z(t) um die Ruhelage z0 kann man das Potential quadratisch nähren, 1 V (z) = V (z0 ) + V ′′ (z0 )(z − z0 )2 + O((z − z0 )3 ) . 2 Geben Sie die Frequenz ω der kleinen Schwingung um die Ruhelage z0 an. (d) Zur Zeit t = 0 sei die Masse schwach ausgelenkt, z(0) = a, und in Ruhe (ż(0) = 0). Berechnen Sie die Auslenkung z(t) als Funktion der Zeit. Aufgabe P32 — Reflexion an weicher Wand (9 Punkte) Ein Teilchen der Masse m trifft bei x = 0 auf eine weiche Wand und wird reflektiert. Beim Aufprall deformiert sich die Wand und das Teilchen dringt in den Bereich x < 0 ein. Die Rückstellkraft F (x) auf das Teilchen sei durch folgenden Ausdruck gegeben: F (x) = 1 α C exp(−αx) 2 Dabei sind α > 0 und C > 0 dimensionsbehaftete Konstanten. Die Energie E des Teilchens sei vorgegeben. (a) Berechnen Sie das Potential V (x) und skizzieren Sie V (x) und die Gesamtenergie. (b) Zeichnen und berechnen Sie den Punkt x0 , an dem das Teilchen seine Bewegungsrichtung umkehrt. (c) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit v∞ , den das Teilchen für große Zeiten t → +∞, d. h. nach der Reflexion erreicht. Wie hängt v∞ vom Umkehrpunkt x0 ab? (d) Lösen Sie die Bewegungsgleichung des Teilchens mit Hilfe des Energiesatzes. Empfehlung: Drücken Sie alle Formeln durch v∞ und x0 aus. Z x 1 2 p Hinweis: dx = arcosh (exp(αx/2)) α 1 − exp(−αx) 0 (e) Leiten Sie aus der Lösung der Bewegungsgleichung für endliches α das Verhalten des Teilchens für den Grenzfall α → ∞ her. Welche anschauliche Bedeutung hat dieser Grenzfall?
