Blatt 2 - Physik

Übungen zur Struktur der Materie 3
WiSe 14/15
N. Offen, C. Lange, P. Perez-Rubio, W. Soeldner, A. Trottmann
Blatt 2
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Ausgabe: 13.10.2014
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Abgabe: 20./21./22./23.10.2014
Aufgabe 5: Kinematik eines elastischen Streuprozesses
Betrachten Sie die Streuung eines Elektrons, Masse me an einem schweren Kern mit
Masse M .
a) Berechnen Sie den maximalen Impulsübertrag.
b) Berechnen Sie den Impuls und die Energie des rückgestreuten Kerns.
Hinweise:
Nehmen Sie an, dass die kinetische Energie des Elektrons so groß ist, dass Sie die
Elektronmasse vernachlässigen können.
Aufgabe 6: Paarerzeugung
Zeigen Sie, dass Energieerhaltung den Prozeß
γ −→ e+ + e− ,
d.h. den Übergang eines Photons in ein Elektron und ein Positron, im Vakuum verbietet.
Hinweise:
Überlegen Sie sich, wie die Schwerpunktsenergie im Anfangs-und Endzustand aussieht.
Aufgabe 7: Abschätzung des Radius des Atomkerns
Rutherford berechnete den Wirkungsquerschnitt für α-Teilchen an Gold analog zum klassischen Keplerproblem. Er behandelte die Teilchen nichtrelativistisch und punktförmig.
y
b
Teilchen a
b
Θ
r
x
Kern
Für ein Zentralpotential kann die Bahnkurve als
Z ρ
l
φ = φ0 +
dρ′ q
ρ0
ρ′2 2µ(E − U (ρ′ )) −
l2
ρ′2
angegeben werden, wobei ρ dem Abstand vom Streuzentrum, l dem Drehimpuls, µ der
reduzierten Masse und E der Energie des Teilchens entspricht. Das Potential in der
Rutherfordstreuung lautet
Z1 Z2 e2
U (r) =
4πǫ0 r
und der Drehimpuls wird über den Stoßparameter b
p
l = µ v∞ b = µ E b
festgelegt. Wie können Sie eine obere Grenze für den Kernradius gewinnen? Geben Sie
einen numerischen Wert für Rutherfords Versuchsaufbau, d.h. für α-Teilchen mit Z1 = 2,
die mit E ≈ 6 MeV auf Gold Z2 = 79 geschossen werden, an.
Hinweise:
Nehmen Sie für die schlußendliche Abschätzung den Fall l = 0 bzw. b = 0.
Aufgabe 8: Rutherford Streuung in Bornscher Näherung
Wenn ebene Wellen als Anfangs- und Endzustand angenommen werden
ψi (r) =
ψf (r) =
1 i
√ e ~ pi ·r ,
V
1 i pf ·r
√ e~
,
V
wird das Übergangsmatrixelement in Bornscher Näherung durch die Fouriertransformation des Potentials gegeben:
Mf i = hψf |V |ψi i
i
Z
i
e− ~ pf ·r
e− ~ pi ·r
=
d3 r √
V (r) √
V
V
Z
1
d3 re−i∆·r V (r)
=
V
1
=
Ṽ (∆).
V
Die Übergangsrate und daraus der differentielle Wrikungsquerschnitt lassen sich über
die goldene Regel herleiten. Für den Fall nichtrelativistischer Teilchen, wobei ein- und
auslaufende Teilchen identisch sind, ergibt sich:
2
m2red 1
dσ
.
=
Ṽ
(∆)
dΩ
4π 2 ~2
Dabei ist mred die reduzierte Masse. Berechnen Sie den Wirkungsquerschnitt für ein
abgeschirmtes Coulomb-Potential
V (r) =
Z1 Z2 e2 e−r/a
4πǫ0
r
und einen praktisch unendlich schweren Kern, d.h. mred = m, wobei m die Masse des α
Teilchens ist. Zeigen Sie, dass sich für a → ∞ der Rutherfordquerschnitt ergibt.