19./20. November 2003 ¨Ubungen Serie 4 Teilchenphysik II

19./20. November 2003
Übungen Serie 4
Teilchenphysik II
Fachstudium Physik: Teilchenphysik
WS 2003/2004
Prof. Dr. A. Rubbia
1. Pauli-Matrizen
Zeigen Sie, dass für die Pauli-Matrizen folgende Beziehungen gelten:
a) σi · σj = δij + i εijk σk .
b) [σi , σj ] = 2 i εijk σk .
c) {σi , σj } = σi σj + σj σi = 2 δij .
d) (σ · a) (σ · b) = a · b + i σ · (a × b) für irgend zwei Vektoren a und b.
2. Darstellung von Rotationen
Die Darstellung einer Rotation um θ (Rotationsachse θ, Rotationwinkel |θ | = θ) im Raum
der Spinoren ist gegeben durch die 2 × 2-Matrizen
U(θ ) = e−iθ·σ/2
.
a) Zeigen Sie, dass folgende Beziehung gilt: eiπσz /2 = iσz .
b) Zeigen Sie, dass U(θ ) geschrieben werden kann als
U(θ ) = cos
θ
θ
θ
· 1 − i · σ · sin
2
θ
2
,
wobei 1 die 2 × 2-Einheitsmatrix ist.
c) Geben Sie die Darstellungs-Matrizen Uy (θ) an, die einen Spinor um θ = 1800 , 3600 ,
7200 um die y-Achse drehen und wenden Sie diese Operatoren auf einen “spin up”
Spinor an.
3. Zweikörper-Zerfall im Flug
Ein Teilchen der Masse M hat (im Labor) den Impuls p. Es zerfällt im Flug in zwei Teilchen
mit den Massen m1 und m2 .
L a b o rs y s te m :
v o r d e m
Z e rfa ll
p
n a c h d e m
t
p
m
M
1
1
m
p
Z e rfa ll
2
p
G
1
p
2
a) Berechnen Sie für denLabor-Zerfallswinkel θ1 cos θ1 als Funktion der Energien E =
√ 2
p + M 2 und E1 = p 21 + m21 .
b) Wir betrachten das Teilchen 1 in der Zerfallsebene: p ist der Longitudinalimpuls (in
Richtung von p) und pt der Transversalimpuls.
(p , pt ) = (|p1 | cos θ1 , |p1 | sin θ1 )
.
Leiten Sie folgende Ellipsengleichung für p und pt her:
p
− β E1,SP
γ
2
2
+ p2t = pSP
.
β ist die Geschwindigkeit des zerfallenden Teilchens im Laborsystem, und γ der entsprechende Lorentzfaktor; |pSP | ist der Impuls der emittierten Teilchen im SP-System
(Ruhesystem der Masse M).
c) Skizzieren Sie die Ellipse für die Fälle β < β1SP , β = β1SP und β > β1SP , wobei β1SP die
Geschwindigkeit des emittierten Teilchens 1 im SP-System ist.
d) Zeigen Sie, dass für den Fall β > β1SP der maximale Zerfallswinkel θ1max gegeben ist
durch:
|pSP |
sin θ1max =
.
γ β m1
4. Dreikörperzerfall und der Dalitzplot
Ein Teilchen der Masse M zerfalle in Ruhe in drei unterschiedliche Teilchen mit den Massen
mi , i = 1,2,3. Das Quadrat des Matrixelements |M |2 sei unabhängig von den Impulsen pi
der Zerfallsteilchen.
a) Berechnen Sie die Lebensdauer τ = 1/Γ des Teilchens mit der Masse M.
b) Skizzieren Sie die Verteilung der kinetischen Energien Ti , i = 1,2,3 im Dalitzplot.