Übungsblatt 5 - Universität des Saarlandes

Universität des Saarlandes
19. Mai 2016
Fachrichtung 7.2 - Experimentalphysik
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Prof. Dr. Christoph Becher
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IV
A VIE N
Experimentalphysik 3b – Quanten- und Atomphysik
Sommersemester 2016
Übungsblatt 5
Aufgabe 10: Quadrupolmassenspektrometer und Mathieusche
Differentialgleichungen
Für ein Quadrupolmassenspektrometer wird die in der Abbildung gezeigte Anordnung verwendet. Sie besteht aus vier parallel angeordneten Metallstäben als Elektroden. An gegenüberliegenden Elektroden
liegt die gleiche Spannung an. Die Spannung Uges setzt sich dabei aus
einem Gleichspannungs- und einem Wechselspannungsanteil zusammen: Uges = U + V cos(Ωt). Wird zusätzlich an den Enden der Stäbe
eine Ringelektrode angebracht, lässt sich mit dieser Anordnung eine
lineare Ionenfalle realisieren, die man dann auch lineare Paulfalle nennt.
a) Die gezeigte Anordnung erzeugt ein Potential Φ der Form
Φ(x, y, t) = (U + V cos(Ωt))
x2 − y 2
,
2r2
dabei ist r der halbe Abstand zweier gegenüberliegender Elektroden. Welche elektrische
Kraft wirkt auf ein Teilchen mit der Ladung e in x- und in y-Richtung?
Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für ein Teilchen der Ladung e und der Masse m
unter der Wirkung der oben berechneten elektrischen Kraft auf (Schwerkraft, Luftreibung
usw. vernachlässigen).
b) Nehmen Sie nun in den Bewegungsgleichungen die folgenden Ersetzungen vor:
ax = −ay =
4eU
mr2 Ω2
,
qx = −qy =
2eV
mr2 Ω2
und
2ζ = Ωt .
Die so aufgestellten Differentialgleichungen sind die Mathieuschen Differentialgleichungen.
c) Bei der praktischen Verwendung ist der Gleichspannungsanteil U oft Null. In diesem Fall
liefern die Mathieuschen Differentialgleichungen näherungsweise die Lösungen:
x(t) = x0 cos(ωt)(1 +
mit ω =
Ω
2
q
qx2
2
=
Ω
2
q
qy2
2
qx
cos(Ωt))
2
und y(t) = y0 cos(ωt)(1 +
qy
cos(Ωt)) ,
2
.
Berechnen Sie die Frequenz ω für die folgenden Parameter r = 1, 18 mm, V = 1000 V,
Ω = 2π · 16 MHz und m = 40 u.
d) Stellen Sie die Bewegung in x- und in y-Richtung graphisch dar. Setzen Sie dabei x0 = 1,
ω = 1, und Ω = 10, bzw. Ω = 50.
Aufgabe 11: Parabelspektrograph nach Thompson
In einem Parabelspektrographen werden geladenen Teilchen gleichzeitig in einem Magnetfeld
~ = (B, 0 , 0) und einem elektrischen Feld E
~ = (E, 0 , 0) abgelenkt. Die Felder wirken dabei in
B
einem Bereich −L/2 ≤ z ≤ L/2 (siehe Abbildung). Im Abstand z0 von der Mitte des Feldbereichs
ist eine Photoplatte parallel zur x-y-Ebene aufgestellt, auf der die Spuren der Teilchen beobachtet
werden können. Der betrachtete Aufbau sei durch folgende Parameter beschrieben: Länge und
Abstand der Polschuhe: L = d = 5 cm, Magnetfeld: B = 0, 01 T, Spannung zwischen den
Polschuhen: U = 100 V und Abstand der Photoplatte: z0 = 1 m.
a) Welche Kräfte wirken auf ein geladenes Teilchen, das mit der Geschwindigkeit v in zRichtung in die Feldregion eintritt? Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf.
b) Bestimmen Sie die Bahngleichungen x(z) und y(z) aus den Bewegungsgleichungen durch
Integration von −L/2 bis z.
(Hinweis: Eliminieren Sie die Zeit t. Sie können davon ausgehen, dass die Änderung der
Geschwindigkeit durch die Felder klein gegen die Eintrittsgeschwindigkeit v ist.)
c) Nach dem Verlassen des elektrischen und magnetischen Feldes bei z = L/2 werden die
Bahnkurven x(z) und y(z) durch Geraden beschrieben. Welche Steigung haben die Geraden? Wie lauten die vollständigen Bahnkurven?
d) Treten die Teilchen nicht mit einer festen Geschwindigkeit v in die Feldregion ein, so erhält
man auf der Photoplatte keinen Auftreffpunkt sondern eine Spur y(x).
Stellen Sie mit Hilfe der im vorigen Aufgabenteil bestimmten Bahnkurven die Gleichung
der Spur y(x) auf. (Eliminieren Sie dazu die Geschwindigkeit v). Von welcher Eigenschaft
der Teilchen hängt diese Spur ab?
e) Stellen Sie die Spur einfach geladener
graphisch dar.
20 Ne-Ionen
auf der Photoplatte für 0 ≤ x ≤ 25 cm
f) Welche Geschwindigkeit haben diejenigen Ionen, die bei y(z0 ) = 3 cm auftreffen? Welcher
kinetischen Energie entspricht diese Geschwindigkeit? Welche Spannung ist nötig, um 20 NeIonen auf diese Geschwindigkeit zu beschleunigen?
g) Bei welchen Ablenkungen x(L/2) und y(L/2) verlassen die Teilchen die Feldregion?
h) Wie weit sind die Spuren für einfach geladene
voneinander entfernt?
20 Ne-Ionen
und
22 Ne-Ionen
bei x = 20 cm