Theoretische Physik 3 Quantenmechanik 3. Übungsblatt 3.5P 1P 1P

Theoretische Physik 3 Quantenmechanik
H. Spiesberger
3. Übungsblatt
Ausgabe: 09.11.2016
Abgabe: 18.11.2016
Besprechung: 21.-25.11.2016
Aufgabe 4. Propagator für ein freies Teilchen (10 Punkte) Wir betrachten ein
nicht-relativistisches quantenmechanisches Teilchen der Masse m, das sich frei im ddimensionalen Raum bewegt und durch die Schrödinger-Gleichung
~
∂ψ
=−
∆ψ
(1)
i~
∂t
2m
mit der Anfangsbedingung
ψ(~x, 0) = δ(~x − ~x )
(2)
beschrieben wird. Zur Zeit t = 0 bendet sich das Teilchen also am Ort ~x .
(a) Lösen Sie das Anfangswertproblem durch Fourier-Transformation und zeigen Sie
insbesondere, dass die Wellenfunktion für t > 0 durch
ψ(~x, t) = K(~x − ~x , t)
(3)
gegeben ist, wobei
m im~z
exp
.
(4)
K(~z, t) =
2πi~t
2~t
[Hinweis: Beachten Sie Aufgabe 2 (c) und (g)!] Wie lautet die Lösung des Problems
für t < 0?
3.5P
(b) Überprüfen Sie explizit, dass diese Lösung der Anfangsbedingung genügt, dass also
lim
K(~z, t) = δ(~z) gilt (vgl. Aufgabe 1)
1P
(c) Zeigen Sie, dass man die Lösung der Schrödinger-Gleichung (1) zu einer allgemeinen
Anfangsbedingung ψ(~x, 0) = ψ (~x) durch
1P
Z
ψ(~x, t) = d y K(~x − ~y , t) ψ (~y )
(5)
erhält.
Wir denieren nun den sogenannten Zeitentwicklungsoperator des freien Teilchens U
durch: U ψ (~x) = R d y K(~x − ~y, t) ψ (~y).
(d) Zeigen Sie, dass U = 1, U U = U und U U = 1 gilt. (Der 1-Operator
wird in der Form von Gl. (5) durch eine d-dim. δ-Distribution dargestellt). 3.5P
Der Propagator oder die Greensche Funktion G(~z, t) der freien Schrödinger-Gleichung ist
wie folgt deniert: G(~z, t) = Θ(t)K(~z, t). Hierbei ist Θ(t) die Stufenfunktion.
(e) Zeigen Sie, dass G eine lineare inhomogene partielle Dierentialgleichung erfüllt und
geben Sie diese explizit an.
1P
2
0
0
0
2
d/2
t→0
0
d
0
t
t
0
d
0
0
t1
1
i~
t2
t1 +t2
†
t
t
Betrachten Sie ein nicht-relativistisches
quantenmechanisches Teilchen (Masse m) unter der Einwirkung konservativer Kräfte. Das
Teilchen wird durch die Schrödinger-Gleichung mit dem Hamilton-Operator H = P~ /2m+
~ beschrieben, wobei P
~ und Q
~ die Operatoren für Impuls und Ort sind (P
~ = −i~∇
~
V (Q)
in der Ortsdarstellung).
(a) Zeigen Sie, dass die Energie dieses Teilchens
R erhalten ist: hHi = 0. Hierbei steht
h·i wie üblich für den Mittelwert: hOi = d x ψ Oψ .
2P
R
(b) Zeigen Sie, dass die Energie auf einen Ausdruck der Form hHi = d x W (~x, t)
~
gebracht werden kann. Darin kann W (~x, t) = |∇ψ|
+ V (~x)|ψ| als Energie(wahrscheinlichkeits)dichte des Teilchens interpertiert werden. Aus welchem Grund gilt
dies nicht für z.B. Wf(~x, t) = ψ Hψ?
2P
Aufgabe 5. Energieerhaltung (4 Punkte)
2
3
d
dt
∗
3
~2
2m
2
2
∗
Bitte notieren Sie die Zeit, die Sie für die Bearbeitung der Übungsaufgaben benötigt
haben.