Ubungen zur Theoretischen Physik IV

Blatt 11
SS 2009
Übungen zur Theoretischen Physik IV
Aufgabe 51 — Gleichverteilungssatz
πi (= qi oder pi ) sei ein Freiheitsgrad, der quadratisch in die klassische Hamilton-Funktion eingeht.
Zeigen Sie, dass dann
hπi
∂H
i = kB T ,
∂πi
indem Sie den Erwartungswert in der kanonischen Gesamtheit berechnen!
Aufgabe 52 — Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
Ein klassisches N-Teilchen-System werde durch die Hamilton-Funktion
N
X
p2i
+ V (r1 , ..., rN )
H=
2m
i=1
beschrieben. Leiten Sie die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung her, indem Sie Mittelwerte in
der kanonischen Gesamtheit berechnen!
Aufgabe 53 — Barometrische Höhenformel
Betrachten Sie ein klassisches N-Teilchen-System ohne Wechselwirkung zwischen den Teilchen. Die
Teilchen erfahren aber eine Beschleunigung durch ein Gravitationsfeld mit Potenzial ϕ(r). Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen am Ort r in einem kleinen Volumen d3 r anzutreffen?
Aufgabe 54 — Entropie eines Zwei-Niveau-Systems
Gegeben ist ein System von N ungekoppelten und paarweise gleichen Subsystemen:
H=
N
X
Hi .
i=1
Der Hamilton-Operator des i-ten Subsystems habe zwei (nichtentartete) Eigenwerte
b
εi = − + ni b
2
mit ni = 0 oder ni = 1 (“Besetzungszahl”). b ist ein Parameter.
Benutzen Sie die kanonische Gesamtheit, um die Entropie S(T, N) zu berechnen!
Aufgabe 55 — Klassisches ideales Gas
Leiten Sie die Sackur-Tetrode-Gleichung
5
v
S(T, V, N) = Nk ln 3 +
λ
2
√
(klassisches ideales einatomiges Gas, v = V /N, λ = h/ 2πmkT ) mit Hilfe der großkanonischen
Gesamtheit ab!
Aufgabe 56 — Volumenschwankungen
Ein System mit Teilchenzahl N befinde sich in thermischem und in Arbeitsaustauschkontakt mit
einem Bad der Temperatur T und des Drucks p. Zeigen Sie, dass die mittlere quadratische Volumenschwankung durch
h(V − hV i)2 i = kB T hV iκT
gegeben ist! κT ist die isotherme Kompressibilität. Diskutieren Sie die relative Standardabweichung!
Aufgabe 57 — Großkanonischer Erwartungswert
Der Hamilton-Operator eines Quantensystems sei durch
H = H0 + λA
gegeben. λ ist ein reeller Parameter, A eine Observable bzw. ein hermitescher Operator und H0
der Hamilton-Operator für λ = 0 (Beispiel: A = Gesamtspin, λ = Magnetfeld). Zeigen Sie, dass
der großkanonische Erwartungswert für A als Ableitung des großkanonischen Potenzials geschrieben
werden kann:
∂Ω(T, λ, µ)
= hAi ,
∂λ
und zwar unabhängig davon, ob A mit H0 kommutiert oder nicht!