Ubungen zur Vorlesung Theorie IV (Statistische - staff.uni

Institut für Physik
WS 2013/2014
Friederike Schmid
Übungen zur Vorlesung Theorie IV (Statistische Physik und Thermodynamik)
Blatt 6
Bitte geben Sie auf dem Blatt auch an, wieviel Zeit Sie für die Bearbeitung gebraucht haben.
Quickies:
40. Was ist eine Gesamtheit? Worin unterscheiden sich verschiedene Gesamtheiten?
41. Was ist konkret die mikrokanonische, die kanonische, die großkanonische Gesamtheit? Nennen
Sie je eine experimentelles Beispiel für ein System, das durch diese Gesamtheit beschrieben wird.
42. Von welchen mikroskopischen Nebenbedingungen geht man üblicherweise aus, wenn man ein
isoliertes System betrachtet? Warum gerade diese?
43. Was für Nebenbedingungen hat man, wenn das System nicht mehr isoliert ist? Warum gerade
diese?
44. Wie ist die Verteilungsfunktion für Zustände eines klassischen Systems in der mikrokanonischen
Gesamtheit?
45. Wie lautet der Ausdruck für den statistischen Operator in einem quantenmechanischen System
in der mikrokanonischen Gesamtheit?
46. Wie lauten die Formeln für Zustandssumme und Entropie in der mikrokanonischen Gesamtheit
(klassisch und quantenmechanisch)?
47. Wie ist die Verteilungsfunktion für Zustände eines klassischen Systems in der kanonischen und
großkanonischen Gesamtheit?
48. Wie lautet der Ausdruck für den statistischen Operator in einem quantenmechanischen System
in der kanonischen und großkanonischen Gesamtheit?
49. Wie berechnet man die Zustandssumme in der kanonischen und großkanonischen Gesamtheit?
50. Was ist die freie Energie?
51. Was ist das großkanonische Potential?
Aufgaben (Hausaufgabe ist abzugeben in der Vorlesung vom 9.12.2013)
Aufgabe 16) Hausaufgabe: Ableitungen von freien Energien (10 Punkte)
(a) Im großkanonischen Ensemble ist
(b) Im kanonischen Ensemble gilt
∂
∂β hEi
(c) Im großkanonischen Ensemble gilt
(d) Berechnen Sie
∂
∂β hEi
∂
∂β (βΩ)
= hEi − µhN i und
= −(hE 2 i − hEi2 )
∂
∂µ hN i
= β(hN 2 i − hN i2 ).
im großkanonischen Ensemble.
∂
∂µ (Ω)
= −hN i.
Aufgabe 17) Klassisches ideales Gas
(a) Berechnen Sie die Zustandssumme eines Systems von nichtwechselwirkenden Teilchen in
der kanonischen Gesamtheit. Berechnen Sie daraus unter Verwendung der Stirling-Formel
N 3
ln N ! ≈ N ln N die freie Energie. Sie erhalten F = N
β ln( V λT ) mit der “thermischen dep
Broglie Wellenlänge” λT = h β/2πm.
(b) Berechnen Sie nun die Zustandssumme für dasselbe System in der großkanonischen GeV
samtheit, und das großkanonische Potential. Sie erhalten Ω = − βλ
3 exp(βµ).
T
(c) Berechnen Sie daraus hEi (für beide Gesamtheiten) und hN i (für die großkanonische Gesamtheit) und verifizieren Sie hEi = 23 N/β bzw. hEi = 32 hN i/β.
Aufgabe 18) Einsteinmodell
In einem einfachen Modell für einen Festkörper werden die Atome des Festkörpers als unabhängige Oszillatoren betrachtet, die um ihren Gleichgewichtspunkt vibrieren können. Da die Atome
an verschiedenen Orten sitzen, sind sie unterscheidbar. Betrachten Sie ein solches System von
N unterscheidbaren unabhängigen Oszillatoren in einer Dimension. Die Hamiltonfunktion bzw.
der Hamiltonoperator des Systems kann geschrieben werden als Summe von Einzel-Oszillatoren:
H=
X
i
Hi bzw. H =
X
i
Hi
mit Hi , Hi =
p2i
1
+ mω 2 x2i
2m 2
(a) Berechnen Sie quantenmechanisch die kanonische Zustandssumme und die freie Energie
1
−β~ω )).
F (T, N ). Das Ergebnis lautet F = N ( ~ω
2 + β ln(1 − e
Hinweis: Verwenden Sie ohne Beweis die wichtigsten Ergebnisse der Quantenmechanik für
eindimensionale harmonische Oszillatoren: Die Energieeigenwerte sind gegeben durch ǫn =
~ω(n + 12 ) mit n = 0, 1, 2, · · ·.
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe von (a) die mittlere Energie hEi und die Entropie S des Gesamtsystems.
(c) Berechnen Sie nun klassisch die kanonische Zustandssumme und die freie Energie, und
daraus die mittlere Energie und die Entropie. Das Ergebnis für die freie Energie lautet
F =N
β ln(β~ω).
(d) Betrachten Sie den Grenzfall hoher Temperaturen, kB T ≫ ~ω, für den quantenmechanischen Fall, und vergleichen Sie die Ergebnisse für F , hEi und S mit den entsprechenden
klassischen Ergebnissen.
(e) Betrachten Sie nun den Grenzfall niedriger Temperaturen, T → 0. Was passiert konkret
mit der Entropie im quantenmechanischen und im klassischen Fall?