¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Statistische Thermodynamik“ Prof

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Statistische Thermodynamik“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
KOMET 337, Institut für Physik, Johannes Gutenberg-Universität
Aufgabenblatt 08, Abgabe: 26. 06. 2006
Aufgabe 22. Fluktuationen im Photonengas (6 Punkte)
Die Besetzungszahlen nkα der Photonenzustände eines schwarzen Strahlers mit dem WellenvekP
tor k und der Polarisationsrichtung
α
und
daher
auch
die
Gesamtphotonenzahl
N
=
kα nkα
P
verteilte Größen und
und die Gesamtenergie E =
kα ~ωk nkα sind bekanntlich statistisch
p
h(N
−
hN i)2 i und ∆E ≡
weisen
daher
eine
Verteilungsbreite
auf.
Bestimmen
Sie
∆N
≡
p
h(E − hEi)2 i als Funktionen des Volumens und der Temperatur.
Aufgabe 23. Der paramagnetische Kristall (8 Punkte)
Wir betrachten ein System N nicht-wechselwirkender Spin-J-Teilchen in einem Magnetfeld, das
entlang der x3 -Achse zeigt: B = Bê3 . Die Stärke B des Magnetfelds ist hierbei ein unveränderlicher Parameter. Die Teilchen befinden sich jeweils in einem der 2J + 1 Eigenzustände von Jˆ3 ,
und die entsprechenden Energieeigenwerte des Gesamt-Hamilton-Operators sind
E = 2~ωL
N
X
mi .
i=1
Hierbei ist mi ~ (mit mi = −J, −J + 1, . . . , J) der Jˆ3 -Eigenwert des i-ten Teilchens. Wir führen
dimensionslose Größen u ≡ E/N ~ωL , s ≡ S/N kB , t ≡ kB T /~ωL ein und nehmen an, dass das
System an ein Wärmebad der Temperatur T angekoppelt ist.
(a) Was sind die thermodynamisch relevanten Variablen? Warum kann man dieses System im
Rahmen der kanonischen Gesamtheit beschreiben?
(b) Zeigen Sie, dass die Zustandssumme durch
Zk =
sinh[(2J + 1)t−1 ]
sinh(t−1 )
N
gegeben ist.
(c) Zeigen Sie: u(t) = coth(t−1 )−(2J +1) coth[(2J +1)t−1 ] und berechnen Sie die dimensionslose
Entropie s(t) und die dimensionslose spezifische Wärme c(t) ≡ du
dt (t).
(d) Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten von u(t), s(t) und c(t) für T → 0 und T → ∞
und fertigen Sie Skizzen an. Erklären Sie das Verhalten von c(t) für t ↓ 0 und t → ∞.
Aufgabe 24. Hochtemperaturlimes in der kanonischen Gesamtheit (6 Punkte)
Wir betrachten zunächst ein ideales Quantengas spinloser Bosonen in einem d-dimensionalen
Kasten mit Seitenlängen L und periodischen Randbedingungen, analog zu Aufgabe 21, und
untersuchen den Hochtemperaturlimes im Rahmen der kanonischen Gesamtheit. Wir nehmen
an, dass die Temperatur T , das Volumen V = Ld und die Teilchenzahl N fest vorgegeben sind.
Die Energie Ep = p2 /2m mit p ≡ (p1 , p2 , . . . , pN ) liegt daher nur im Mittel fest.
(a) Zeigen Sie, dass sich der kanonische Dichteoperator des Bose-Gases im Hochtemperaturlimes
reduziert auf:
Z
1 −βEp
VN
̺k =
e
, Zk =
dp e−βEp .
(1)
Zk
N !hN d
Werten Sie die Zustandssumme aus und leiten Sie aus dem Ergebnis ab: P V = N kB T
und U = d2 N kB T . Berechnen Sie außerdem das chemische Potential µ(T, V, N ) der BoseTeilchen im Hochtemperaturlimes. Inwiefern ändern sich die Berechnungen oder Ergebnisse
im Falle eines Fermi-Gases?
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Verallgemeinerung von (1) für den Hochtemperaturlimes
eines d-dimensionalen Gases mit Wechselwirkung zwischen den Teilchen lautet:
Z
Z
1
1 −βH(x,p)
e
, Zk =
dx dp e−βH(x,p) .
̺k =
Zk
N !hN d
Wir nehmen an, dass die Hamilton-Funktion hierbei die Form H(x, p) = p2 /2m + V (x) hat,
wobei das Potential V (x) eventuell auch ein Wandpotential enthalten könnte, falls das Gas –
wie in Teil (a) – in einem Kasten mit dem Volumen V eingesperrt ist. Wir nehmen auf jeden
Fall an: V (x) → ∞, falls |xi | → ∞ für irgendein i = 1, 2, . . . , N gilt.
R
√
d
QN (T ) mit λT ≡ h/ 2πmkB T und QN (T ) ≡ N1 ! dx e−βV (x) . Lei(b) Zeigen Sie: Zk = λ−N
T
ten Sie hieraus den Gleichverteilungssatz Ekin ≡ hp2 /2mi = 21 kB T N d ab, der also besagt,
dass jeder Freiheitsgrad einen Beitrag 12 kB T zur kinetischen Energie eines klassischen Gases
liefert.
(c) Zeigen Sie mittels einer partiellen Integration: hx· ∂V
∂x i = kB T N d. Bestimmen Sie die mittlere
potentielle Energie hV (x)i für den Spezialfall eines homogenen Potentials, V (λx) = λα V (x)
mit α > 0. Was folgt hieraus für die mittlere potentielle Energie hV (x)i und die innere
Energie hHi eines idealen klassischen Gases in einer harmonischen Falle (α = 2)?