Übungen zur Vorlesung Klassische Mechanik WS 2003/04 Prof. Dr

Übungen zur Vorlesung Klassische Mechanik
m
WS 2003/04
Prof. Dr. G. Mahler
Blatt 2
v∞
PSfrag replacements
d
M
Aufgabe 5 : Kontrollfragen
r0
a) Unter welchen Bedingungen hat ein mechanisches System von Massenpunkten
alle 10 Konstanten der Bewegung?
v0
R0
b) Wie lauten die 10 Konstanten der Bewegung?
c) Welche Erhaltungssätze gelten auch in Gegenwart (spezieller) äußerer Kräfte?
Aufgabe 8 : Schiefer Wurf mit Reibung
Aufgabe 6 : Lösung der Bewegungsgleichung über Energiesatz
Eine Kugel mit Radius R und Masse m bewegt sich in einer zähen Flüssigkeit unter
dem Einfluss der Kraft F = −m0 g ez − f v. Der erste Term beschreibt die um
den Auftrieb verminderte Schwerkraft, der zweite Term eine Reibungskraft. Der
Koeffizient f lässt sich aus dem Kugelradius R und der dynamisches Viskosität η
der Flüssigkeit berechnen gemäß f = 6πηR (Stokes’sches Reibungsgesetz).
Ein Teilchen der Masse m bewege sich gemäß der Gleichung
mẍ + f x −
g
=0
x3
(f, g > 0, x > 0).
a) Berechnen Sie das zugehörige Potenzial. Fertigen Sie eine Skizze an, und diskutieren Sie das Potenzial (Minimum x0 , Entwicklung um x0 ).
(2 Punkte)
b) Wie lautet der Energiesatz zu diesem Problem, und welche Mindestenergie besitzt das Teilchen? Bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz, indem Sie die Differenzialgleichung 1. Ordnung in x integrieren, die Sie aus dem Energiesatz erhalten. Zur Zeit
t = 0 soll dabei das Teilchen am linken Umkehrpunkt der Bewegung sein. (2 Punkte)
c) Enthält die allgemeine Lösung den Spezialfall x(t) ≡ x0 ? Wie bewegt sich ein
Teilchen mit sehr kleiner Energie (E ≈ V (x0 ))? Zeigen Sie, dass für große Energien
(E À V (x0 )) Kippschwingungen
x(t) ∼ |sin(ωt)| ,
ω=
p
f /m ,
auftreten. Skizzieren Sie diese drei speziellen Lösungen.
(schriftlich)
a) Berechnen Sie den Ort r(t) und die Geschwindigkeit v(t) der Kugel, wenn zur Zeit
t = 0 die Anfangsbedingungen r(0) = 0 und v(0) = v 0 gegeben sind.
(2 Punkte)
Hinweis: Die Richtung von v 0 muss nicht mit der z-Achse übereinstimmen.
b) Zeigen Sie, dass die mechanische Energie E = Ekin + Epot während der Bewegung
nur abnehmen kann, d. h.
dE
= −P (t) ≤ 0.
dt
Berechnen Sie die pro Zeiteinheit produzierte Reibungswärme P (t). Wie verhält sich
P (t) für t → 0 ?
(2 Punkte)
Aufgabe 9 : Superposition von Kräften
(2 Punkte)
Aufgabe 7 : Erhaltungssätze
Ein Meteor der Masse m ¿ M nähert sich aus dem Unendlichen kommend mit
der Geschwindigkeit v∞ der Erde (Masse M , Radius R0 ) und würde bei fehlender
Erdanziehungskraft im Abstand d À R0 an der Erde vorbei fliegen. Aufgrund der
Gravitationskraft ist seine Bahn jedoch zur Erde hin gekrümmt. Berechnen Sie nur
unter Verwendung von Erhaltungssätzen den minimalen Abstand r0 des Meteors von
der Erde und seine Geschwindigkeit v0 in diesem Punkt. Wie sind die Parameter d
(2 Punkte)
und v∞ zu wählen, damit der Meteor an der Erde vorbei fliegt?
Drei feste Punktquellen befinden sich in gleichem Abstand auf einem Kreis mit
Durchmesser a. Jede Punktquelle übt eine Kraft aus auf einen Massenpunkt mit der
Masse m (Ortsvektor r) gemäß F = −kR, wobei R den Vektor von der entsprechenden Punktquelle zum Massenpunkt bedeutet.
a) Berechnen Sie die Gesamtkraft und das Potenzial des Teilchens.
(1 Punkt)
b) Stellen Sie die Newtonschen Bewegungsgleichung auf. Bestimmen Sie deren Lö(1 Punkt)
sung mit den Anfangsbedingungen r = r 0 , ṙ = v 0 für t = 0.
c) Unter welchen Bedingungen gibt es kreisförmige Bahnen?
(1 Punkt)
d) Welche Erhaltungssätze gelten?
(1 Punkt)