¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Quantenmechanik I“ Prof. Dr

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Quantenmechanik I“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
Institut für Physik, KOMET 337, Johannes Gutenberg-Universität
Abgabetermin: 25. 11. 2005
Aufgabe 4. Propagator für ein freies Teilchen (10 Punkte)
Wir betrachten ein nicht-relativistisches, quantenmechanisches Teilchen der Masse m, das sich
frei durch den d-dimensionalen Raum bewegt und durch die Schrödinger-Gleichung
i~
~2
∂ψ
=−
∆ψ
∂t
2m
(1a)
mit der Anfangsbedingung
ψ(x, 0) = δ(x − x0 )
(1b)
beschrieben wird. Zur Zeit t = 0 befindet das Teilchen sich also exakt am Ort x0 .
(a) Lösen Sie das Anfangswertproblem (1) durch FourierTransformation und zeigen Sie insbesondere, dass die Wellenfunktion für t > 0 durch
ψ(x, t) = K(x − x0 , t)
(2a)
gegeben ist, wobei
K(z, t) ≡
m d/2
2
eimz /2~t .
2πi~t
(2b)
Verwenden Sie für die Lösung die skizzierte Kontur in der
komplexen Ebene. Wie lautet die Lösung von (1) für t < 0?
(b) Zeigen Sie explizit, ausgehend von Gl. (2b), dass limt→0 K(z, t) = δ(z) gilt.
(c)
Zeigen Sie, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung (1a) zur allgemeinen Anfangsbedingung ψ(x, 0) = ψ0 (x) gegeben ist durch:
Z
ψ(x, t) = dy K(x − y, t)ψ0 (y) .
(3)
R
Wir definieren nun den linearen Operator Ût durch: (Ût ψ0 )(x) ≡ dy K(x − y, t)ψ0 (y). Der
Operator Ût wird üblicherweise als Zeitentwicklungsoperator des freien Teilchens bezeichnet.
(d) Zeigen Sie, dass Û0 = 11, Ût1 Ût2 = Ût1 +t2 und Ût† Ût = 11 gilt.
Der Propagator oder die Green’sche Funktion G(z, t) der freien Schrödinger-Gleichung ist wie
1
Θ(t)K(z, t). Hierbei ist Θ(t) die Stufenfunktion.
folgt definiert: G(z, t) ≡ i~
(e)
Zeigen Sie, dass G eine lineare inhomogene partielle Differentialgleichung erfüllt und geben
Sie diese explizit an.
Aufgabe 5. Energieerhaltung (7 Punkte)
Betrachten Sie ein nicht-relativistisches quantenmechanisches Teilchen (Masse m) unter der Einwirkung konservativer Kräfte, das durch die Schrödinger-Gleichung mit dem Hamilton-Operator
p̂2
+ V (x) beschrieben wird.
Ĥ = 2m
(a)
Zeigen Sie, dass die Energie dieses Teilchens erhalten ist:
R
wie üblich den Mittelwert an: hÔi ≡ dx ψ ∗ Ôψ .
d
dt hĤi
= 0. Hierbei deutet h· · · i
R
(b) Zeigen Sie, dass die Energie hĤi auf die Form dx W (x, t) gebracht werden kann, wobei
~2
W (x, t) = 2m
|∇ψ|2 + V (x)|ψ|2 die Energie(wahrscheinlichkeits)dichte des Teilchens darstellt. Aus welchem Grund kann z.B. W̃ (x, t) ≡ ψ ∗ Ĥψ nicht als Energiedichte interpretiert
werden?
(c)
Zeigen Sie, dass W (x, t) eine Kontinuitätsgleichung der Form ∂W
∂t + ∇ · S = 0 erfüllt, wobei
1
∗
die entsprechende Energiestromdichte durch S = m Re[(Ĥψ )(p̂ψ)] gegeben ist.
Aufgabe 6. Galilei-Invarianz der Schrödinger-Gleichung (3 Punkte)
Betrachten Sie zwei Inertialsysteme K und K ′ , wobei K ′ sich mit der konstanten Geschwindigkeit v relativ zu K bewegt. Die Orts- und Zeitkoordinaten in K und K ′ werden als (x, t)
bzw. (x′ , t′ ) bezeichnet. Nehmen wir an, dass die Koordinatenachsen von K und K ′ zur Zeit
t = t′ = 0 zusammenfallen und dass die Geschwindigkeit |v| klein ist im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit (|v| ≪ c), dann sind die Koordinaten der beiden Inertialsysteme durch die
Galilei-Transformation
x′ = x − vt ,
t′ = t
verbunden. Damit die Quantentheorie physikalisch sinnvoll ist, müssen wir offensichtlich fordern,
dass die Schrödinger-Gleichung in K ′ gilt, falls sie in K gilt.
Um dies zu zeigen, betrachten wir ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m, das die
~2
∆ + V (x, t) in K erfüllt. Zeigen Sie nun, dass
Schrödinger-Gleichung i~ ∂t ψ = Ĥψ mit Ĥ = − 2m
′
′
′
die Wellenfunktion ψ (x , t ), die durch
i
1
ψ(x, t) = ψ ′ (x′ , t′ ) e ~ (mv·x− 2 mv
2 t)
definiert ist und also lediglich um einen Phasenfaktor von ψ verschieden ist, die Schrödinger~2
∆′ + V (x′ + vt′ , t′ ) in K ′ erfüllt.
Gleichung i~ ∂t′ ψ ′ = Ĥ ′ ψ ′ mit Ĥ ′ = − 2m