Quantenmechanik, Sommersemester 2011, ¨Ubung 1

Quantenmechanik, Sommersemester 2011, Übung 1
Christof Gattringer, Florian Hebenstreit
Aufgabe 1.1
Da die Übung schon vor der Vorlesung beginnt, möchten wir eine Beispiel
wiederholen, das Ihnen bereits aus der Einführungsvorlesung in die Quantenmechanik bekannt sein sollte: Der unendlich tiefe 1-dimensionale Potentialtopf. Für dieses Problem ist das Potential gegeben durch V (x) = 0 für
x ∈ [0, L], und V (x) = ∞ außerhalb des Intervals. Die nachfolgend angegebenen Schritte führen Sie durch die Rechnung.
1. Beginnen Sie mit der zeitabhängigen Schrödingergleichung in einer Dimension und verwenden Sie den Ansatz ψ(x, t) = exp(−iEt/h̄) ψ(x)
der Sie auf die zeitfreie Schrödingergleichung bringt,
#
"
h̄2 ∂ 2
+ V (x) ψ(x) = E ψ(x) .
−
2m ∂x2
(1)
2. Die Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung wird nun für die Bereiche innerhalb und außerhalb des Intervals [0, L] getrennt ausgeführt.
Außerhalb des Intervals ist die Lösung sehr einfach: Das unendlich starke Potential verhindert jegliches Tunneln und man findet ψ(x) = 0 für
x∈
/ [0, L].
3. Im Inneren des Intervals (V (x) = 0) reduziert sich die zeitfreie Schrödingergleichung (1) auf eine Schwingungsgleichung,
∂2
ψ(x) = − ω 2 ψ(x) .
∂x2
(2)
Bestimmen Sie die Frequenz ω aus den Parametern h̄, m und E, und
geben Sie die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung an (in der
Form mit Sinus und Cosinus).
4. Überlegen Sie sich nun die Anschlußbedingungen für die Wellenfunktion ψ(x) an den Stellen x = 0 und x = L. Eine dieser beiden Randbedingungen schließt eine der beiden Teillösungen (Sinus oder Cosinus)
aus.
5. Die andere Randbedingung führt dazu, dass nur bestimmte Werte ωn
der Frequenz zulässig sind. Bestimmen Sie diese Eigenwerte die durch
1
eine Quantenzahl n = 1, 2, ... indiziert werden. Berechnen Sie daraus
die Energieeigenwerte En , n ∈ N. Auch die Eigenfunktion ψn (x) werden durch die Quantenzahl n indiziert.
6. Der nächste notwendige Schritt ist die Normierung der Wellenfunktionen. Bestimmen Sie die Vorfaktoren der Lösungen ψn (x) so, dass
gilt
Z
L
0
dx |ψn (x)|2 = 1 .
(3)
7. Zeigen Sie als nächstes die Orthogonalität der Eigenfunktionen
Z
0
L
dx ψn (x)∗ ψm (x) = 0 wenn n 6= m .
(4)
8. Diskutieren Sie die Eigenschaften der Wellenfunktionen ψn (x), insbesondere deren Symmetrie bezüglich Spiegelungen an x = L/2 und die
Anzahl der Knoten (Nullstellen). Warum gibt es eine Grundzustandsenergie die ungleich 0 ist?
9. Die allgemeine Lösung des zeitabhängigen Problems ist dann gegeben
durch
∞
ψ(x, t) =
X
cn e−iEt/h̄ ψn (x) .
(5)
n=1
10. Die Koeffizienten cn der allgemeinen Lösung müssen nun unter Verwendung der Orthonormalität und der Vollständigkeit der Wellenfunktionen ψn (x) aus der (auf 1 normierten) Anfangswellenfunktion
ψ(x, t = 0) bei t = 0 bestimmt werden. Berechnen Sie die Koeffizienten für die Anfangswellenfunktion
ψ(x, 0) =

q
12



L3 x




 q








12
L3
für
x ∈ [0, L/2] ,
(L − x) für x ∈ (L/2, L] ,
0
2
für
x∈
/ [0, L] .
(6)