Lösung 1

Quantenmechanik I
Musterlösung 1.
Übung 1.
HS 2016
Prof. Thomas Gehrmann
[Compton-Streuung]
Betrachte die elastische Streuung eines Photons mit Energie und Impuls (cp1 ,p~1 ) an einem Elektron in
2~
Ruhe, dessen Energie
p und Impuls (mc ,0) beträgt. (cp2 ,p~2 ) bezeichnet Energie und Impuls des gestreu2
2
2
ten Photons, und (c m c + p~ ,~
p) Energie und Impuls des Elektrons nach der Kollision. Da elastische
Streuung angenommen wird, sind Gesamtenergie und Gesamtimpuls erhalten. Zeige, dass unter dieser
Voraussetzung
1
1
h
(1 − cos θ)
(1)
−
=
ν2
ν1
mc2
gilt, wobei νi die Frequenz des Photons vor bzw. nach der Streuung ist und cpi = hνi .
h
θ ist der Streuwinkel, d.h. der Winkel zwischen p~1 und p~2 . Die Grösse mc
wird auch als ComptonWellenlänge des Elektrons bezeichnet.
Lösung.
Energie- und Impulserhaltung ergibt
p1 + mc = p2 +
p
m2 c2 + p2 ,
(L.1)
p~1 = p~2 + p~.
(L.2)
p1 2 + p2 2 + 2(p1 − p2 )mc − 2p1 p2 = p2 ,
(L.3)
p1 2 + p2 2 − 2p1 p2 cos θ = p2 .
(L.4)
Quadrieren beider Gleichungen führt zu
Subtraktion der beiden Gleichungen voneinander liefert
p1 p2 (1 − cos θ) − (p1 − p2 )mc = 0 .
(L.5)
Durch Einsetzen von cpi = hνi erhält man das gewünschte Resultat
1
1
h
−
=
(1 − cos θ) .
ν2 ν1
mc2
Übung 2.
(L.6)
[Galilei-Invarianz der Schrödinger Gleichung]
Sei Ψ(x, t) eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung eines freien Teilchens, d.h.
i~∂t Ψ(x, t) = −
~2 2
∂ Ψ(x, t) .
2m x
(2)
Zeige, dass für jedes konstante u auch
im
Ψu (x, t) = Ψ(x − ut, t) exp
~
1
ux − u2 t
2
eine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung eines freien Teilchens ist.
1
(3)
Lösung.
Durch die Transformation x → x(t) = x − ut folgt für die partielle Ableitung
∂F (x, t)
∂F (x(t), t) ∂F (x(t), t) ∂x
→
+
.
∂t
∂t
∂x
∂t
(L.7)
Daher erhält man
mu2
i~∂t Ψu (x, t) =
Ψ(x − ut, t) + i~∂t [Ψ(x − ut, t)] exp (. . . )
(L.8)
2
mu2
=
Ψ(x − ut, t) + i~ [∂t Ψ] (x − ut, t) − i~u [∂x Ψ] (x − ut, t) exp (. . . )
2
und
~2 2
mu2
~2 2 ∂ Ψ (x − ut, t) exp (. . . ) .
−
∂ Ψu (x, t) =
Ψ(x − ut, t)−i~u [∂x Ψ] (x − ut, t)−
2m x
2
2m x
(L.9)
Zieht man die zweite von der ersten Gleichung ab, so ergibt sich
~2 2
~2 2
∂ Ψu (x, t) = exp (. . . ) i~∂t Ψ +
∂ Ψ (x − ut, t) = 0 ,
(L.10)
i~∂t Ψu (x, t) +
2m x
2m x
wobei wir im letzten Schritt benutzt haben, dass Ψ(x, t) die Schrödinger-Gleichung löst.
Übung 3.
[Poisson-Klammern in der klassischen Mechanik]
Seien F und G zwei beliebige Funktionen der kanonischen Variablen qk , pk und f die Anzahl der Freiheitsgrade des betrachteten Systems. Man definiert die Poisson-Klammer durch
f X
∂F ∂G
∂F ∂G
[F, G] ≡
−
.
(4)
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
k=1
a) Zeige, dass die Beziehungen
[F, F ] = 0,
[F, G] = − [G, F ] ,
∂F
= [F, pi ] ,
∂qi
[F, G1 + G2 ] = [F, G1 ] + [F, G2 ] ,
(5)
∂F
= − [F, qi ]
∂pi
(6)
gelten.
b) Zeige, dass für die kanonischen Variablen qk , pk
[qi , qj ] = [pi , pj ] = 0,
[qi , pj ] = δij
(7)
gilt.
c) Sei H = H (q1 , . . . , qf , p1 , . . . , pf , t) die Hamilton-Funktion eines Systems. Zeige, dass man die
kanonischen Gleichungen
q̇i =
∂H
,
∂pi
ṗi = −
∂H
∂qi
(i = 1, . . . , f )
(8)
auch als
q̇i = [qi , H] ,
ṗi = [pi , H]
(9)
schreiben kann.
d) Zeige, dass für die totale Zeitableitung einer Funktion F (q1 , . . . , qf , p1 , . . . , pf , t)
dF
∂F
=
+ [F, H]
dt
∂t
gilt.
2
(10)
Lösung.
a) Die ersten beiden Gleichungen folgen direkt aus der Definition der Poisson-Klammern, die
dritte aus der Linearität des Differentials. Weiterhin gilt (analog für [F, qi ])
f
X
∂F ∂pi
∂F ∂pi
[F, pi ] =
−
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
(L.11)
k=1
und mit
∂pi
= δik ,
∂pk
∂pi
=0
∂qk
(L.12)
folgt
∂F
= [F, pi ] .
∂qi
(L.13)
b) Allgemein gilt
∂pi
∂qi
=
= δik ,
∂pk
∂qk
∂pi
∂qi
=
= 0,
∂qk
∂pk
δik δjk = δij .
(L.14)
Daher findet man
f
X
∂qi ∂qj
∂qi ∂qj
−
= 0,
[qi , qj ] =
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
(L.15)
∂pi ∂pj
∂pi ∂pj
−
= 0,
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
(L.16)
∂qi ∂pj
∂qi ∂pj
−
= δij .
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
(L.17)
[pi , pj ] =
[qi , pj ] =
k=1
f
X
k=1
f
X
k=1
c)
[qi , H] =
f
X
∂qi ∂H
∂qi ∂H
∂H
−
=
= q˙i .
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
∂pi
(L.18)
k=1
Analog für p˙i .
d)
dF
dt
f
=
∂F
=
+
∂t
=
f
∂F X ∂F ∂qk
∂F ∂pk
∂F X ∂F
∂F
+
+
=
+
[qk , H] +
[pk , H]
∂t
∂qk ∂t
∂pk ∂t
∂t
∂qk
∂pk
k=1
f
X
∂F
∂qk
k=1
f
X
∂F
+
∂t
k=1
k=1
f X
m=1
X
f
f ∂qk ∂H
∂qk ∂H
∂F X ∂pk ∂H ∂pk ∂H
−
+
−
∂qm ∂pm ∂pm ∂qm
∂pk
∂qm ∂pm ∂pm ∂qm
k=1
m=1
∂F ∂H
∂F ∂H
−
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
∂F
=
+ [F, H] .
∂t
(L.19)
3