Ubungen zur Quantenmechanik Blatt 4 - Friedrich

Friedrich-Schiller-Universität Jena
Sommersemester 2012
Prof. Dr. Andreas Wipf,
DP Lukas Janssen, DP Marianne Mastaler,
DP Björn Wellegehausen, DP Nathan Johnson-McDaniel
Übungen zur Quantenmechanik
Blatt 4
10. Eichtransformationen
10 Punkte
Die (im allgemeinen zeitabhängige) Lagrangefunktion eines geladenen Teilchens in einem
äußeren elektromagnetischen Feld, welches durch das Vektorpotential A und das skalare
Potential ϕ beschrieben wird, lautet in kartesischen Koordinaten x:
m
e
L[x, ẋ, t] = ẋ2 + ẋ · A(x, t) − eϕ(x, t) .
2
c
a) Zeige, daß sich die Lagrangefunktion unter Eichtransformationen nur um eine totale
Zeitableitung ändert.
(1 Punkt)
Bemerkungen: Faßt man das Vektor– und das skalare Potential zu einem Viererpotential
Aµ (x, t) (µ = 0, 1, 2, 3, A0 ≡ ϕ) zusammen, so lassen sich Eichtransformationen kompakt
als Aµ → Aµ + ∂µ Λ(x, t) schreiben, wobei Λ eine beliebige Funktion sein kann. Hierbei
ist ∂µ ≡ ∂/∂xµ mit xµ ≡ (ct, x).
b) Bestimme die zu xi gehörenden kanonischen Impulse pi . Zeige, daß der kanonische
Impuls p für ein nichtverschwindendes Vektorpotential nicht gleich dem kinetischen π =
mẋ ist, und bestimme den expliziten Zusammenhang zwischen diesen beiden Vektoren.
Wie ändern sich p und π unter Eichtransformationen?
(1.5 Punkte)
c) Zeige, daß sich die Hamiltonfunktion H des Systems als
H(p, x, t) =
1
(π)2 + eϕ(x, t)
2m
schreiben läßt, wobei π als die in (b) gegebene Funktion von p und x am Phasenraum
aufgefaßt werden kann.
(1.5 Punkte)
d) Bestimme die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen, und verifiziere insbesondere, daß
die auf das Teilchen wirkende Kraft tatsächlich die Lorentzkraft ist!
(2 Punkte)
Hinweis: Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen kann man entweder mit Hilfe der kanonischen konjugierten Variablen x und p berechnen oder mit Hilfe der Variablen x und
π. In letzterem Fall ist es zweckmäßig, zuerst die (im Allgemeinen nicht verschwindenden)
Poissonklammern {πi , πj } zu berechnen (drücke die rechte Seite durch das Magnetfeld Bi
aus); anschließend kann man dann die oben angegebene (in π einfachere) Hamiltonfunktion verwenden.
e) Betrachten wir nun die zeitabhängige Schrödingergleichung eines geladenen Teilchens
in einem elektromagnetischen Feld Aµ (x, t). Zeige, daß bei geeignet gewähltem Transfor-
mationsverhalten der Wellenfunktion ψ(x, t) die Schrödingergleichung unter beliebigen
Eichtransformationen forminvariant bleibt.
(2 Punkte)
Hinweis: Schreibe die zeitabhängige Schrödingergleichung mit Hilfe der “kovarianten Abie
leitungen” Dµ = ∂µ −
Aµ ! Finde nun eine Funktion f derart, daß mit Aµ → Aµ + ∂µ Λ
~c
und ψ → exp(if (x, t)) ψ folgt: Dµ ψ → exp(if ) Dµ ψ.
f ) Wie ändern sich unter einer wie oben gegebenen Eichtransformation die Erwartungswerte vom kanonischen Impuls p sowie vom kinetischen Impuls π? Wie ändern sich im
stationären Fall die Energieeigenwerte?
Ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ρ(x, t) = Ψ(x, t)∗ Ψ(x, t) invariant unter Eichtransformationen? Bestimme den Wahrscheinlichkeitsstrom j(x, t) und zeige, daß er ebenfalls
invariant ist.
(2 Punkte)
11. Randbedingungen und Translationsoperator
Betrachte unendlich oft differenzierbare Funktionen Ψ(x) ∈
x ∈ [0, L], die die folgenden Randbedingungen erfüllen:
1. Fall: Ψ(x) = Ψ(x + L)
2. Fall: Ψ(x) = ei α Ψ(x + L),
α∈
5 Punkte
C auf dem Definitionsbereich
R
a) Zeige für beide Fälle, dass der Operator
P =
~ d
i dx
für diese Funktionen hermitesch ist und bestimme seine Eigenfunktionen und Eigenwerte
für die gegebenen Randbedingungen.
(2 Punkte)
b) Zeige zunächst allgemein für unendlich oft differenzierbare Funktionen auf dem Definii
tionsbereich (ohne Randbedingungen), dass der Operator T (a) = e−a ~ P Translationen
Ψ(x) → Ψ(x − a) erzeugt. Gilt dies auch für die oben angegebenen Randbedingungen?
Zeige explizit, dass der Operator T (a) auch unitär ist, also insbesondere
R
(T (a)Ψ, T (a)Ψ) = (Ψ, Ψ)
gilt.
(2 Punkte)
c) Betrachte nun die Randbedingung Ψ(0) = Ψ(L) = 0. Ist der Operator P auch in
diesem Fall hermitesch?
(1 Punkte)
Hinweis: Hat P Eigenfunktionen? Allgemein kann gezeigt werden, dass für einen selbstadjungierten Operator immer eine Basis aus Eigenfunktionen existiert.
Abgabetermin: Vor der Vorlesung am Dienstag, 22.05