Serie 4 - Universität Basel
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Einfürung in die Numerik Prof. Dr. Marcus Grote FS 2014 Universität Basel Serie 4 Aufgabe 1 : Sei f : R → R dreimal stetig differenzierbar. Zeige, dass 0 f (x + h) − f (x − h) ≤ Ch2 , 0 < h ≤ h0 f (x) − 2h und bestimme C. Aufgabe 2 : a) Schreibe die folgenden Ausdrücke so um, dass die unvermeidbare Auslöschung bei der Subtraktion zweier nahezu gleich grosser Zahlen vermieden wird: 1 − cos x ,x ≈ 0 i) sin x√ −b + b2 − 4ac 2 ii) , b 4ac 2a b) Betrachte nun die quadratische Gleichung x2 + 11x + 1.2121 = 0 . (1) Berechne die Lösung von (1) mit der Formel aus (ii) und ihrer Umformulierung jeweils in dezimaler Gleitkommadarstellung mit fünf Stellen (d.h. β = 10, n = 5). Was beobachtest du? Aufgabe 3 (P): a) Bestimme experimentell die (relative) Maschinengenauigkeit eps deines Rechners. b) Verwende den zentralen Differenzenquotienten um die 1. Ableitung von x2 sin(x) an der Stelle x0 = 1 mit Schrittweiten hi = 4−i , i = 1, 2, . . . , 30 zu berechnen. Zeichne den Fehler bezüglich hi auf einer log-log-Skala. Vergleiche den experimentell bestimmten Wert hmin , für den der Fehler minimal ist, mit der theoretischen Voraussage h∗min '2 3 eps |f (x0 )| |f 000 (x0 )| 1/3 . Bitte wenden Aufgabe 4 *: Sei f : R → R viermal stetig differenzierbar. Zeige, dass 00 f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) f (x) − ≤ Ch2 , h2 h ≤ h0 und bestimme C. Aufgabe 5 *: a) Zeige, dass die relative Kondition des Skalarproduktes f : Rn × Rn → R, f (x, y) = xT y gegeben ist durch κ=2 |x|T |y| |xT y| b) Wähle zwei Vektoren x, y ∈ R5 und verifiziere für eine Störung von etwa 0.1%, dass κ tatsächlich die Fortpflanzung des relativen Fehler beschreibt. Aufgabe 6 *: Sei P (x) das Interpolationspolynom n-ten Grades durch die äquidistanten Stützpunkte (xk , yk ), xk = x0 + kh, k = 0, 1, . . . , n. Zeige, dass n 1 X dn P n−i n (x) = n (−1) yi . dxn h i=0 i Hierbei ist n n! = , i i!(n − i)! 0! = 1. Hinweis: Wegen der Lagrangeschen Interpolationsformel, gilt P (x) = n X i=0 n Y λi yi (x − xj ), 1 , j=0 (xi − xj ) λi = Qn j=0 j6=i i = 0, 1, . . . , n. (2) j6=i Zeige, dass (−1)n−i n 1 λi = , n! i hn i = 0, 1, . . . , n und differenziere (2) n-mal nach x. Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich unter dem Link “Einführung in die Numerik” auf der Webseite http://math.unibas.ch/institut/personen/profil/profil/person/nahum/ Abgabe: Montag, 24. März 2014, in der Vorlesung oder bis 16 Uhr im Fach.
