Quantenmechanik II

Quantenmechanik II
SS 2009
7. Aufgabenblatt
32. Zeige, dass die Energie des (klassischen) elektromagnetischen Feldes in einem Kasten Λ,
1 Z
W =
(E2 + B2 )d3 x,
8π Λ
als
W =
V X
ω(k)2 Ak,λ A∗k,λ
2
2πc k,λ
geschrieben werden kann, wo V das Volumen von Λ, ω(k) = c|k| und Ak,λ die Fourierkoeffizienten des Vektorpotentials mit Polarisation λ sind.
33. Zeige, dass die Bewegungsgleichungen für Ak,λ in der Hamiltonschen Form
d
∂W
Pk,λ = −
dt
∂Qk,λ
d
∂W
Qk,λ =
dt
∂Pk,λ
geschrieben werden können. (Notation wie in der Vorlesung.)
34. Zeige, dass der Wechselwirkungsoperator
h̄q Z
−
Ψ(x)∗ A(x) · ∇Ψ(x)d3 x
imc Λ
auf dem Raum H1 ⊗ Hrad , wo H1 der Raum der 1-Elektronenzustände ist, die Form
−
X
k,λ
q
m
s
n
o
2πh̄
(ek,λ · P) ak,λ eik·X + a∗k,λ e−ik·X
V ω(k)
hat.
35. Betrachte eine zeitabhängige Störung der Form
(
W (t) =
W cos ωt
0
t≥0
.
t<0
Begründe die goldene Regel von Fermi:
(1)
wi→α =
2π
|Wif |2 ρα (Ef )
h̄
mit Ef = Ei ± h̄ω. (Notation wie in der Vorlesung.) Diskutiere auch den Gültigkeitsbereich
dieser Näherung.
36. Ein Elektron befindet sich für t ≤ 0 in dem Grundzustand eines dreidimensionalen Potentialtopfes mit Radius a und von der Tiefe V0 . Berechne die Ionisierungsrate für t > 0 in
einem räumlich homogenen elektrischen Feld E(t) = E0 cos ωt.
37. Es sei angenommen, dass
Ωex ψ := lim eitH/h̄ e−itH0 /h̄ ψ
t→±∞
für alle ψ ∈ H existiert. Zeige, dass
(i) Ωex H = Hex
(ii) Ω∗ex = Ω̂ex
(iii) Ω∗ex Ωex = 1H , Ωex Ω∗ex = Eex
(iv) HΩex = Ωex H0 , H0 Ω̂ex = Ω̂ex H.
38. Es sei wieder angenommen, dass Ωex auf ganz H existiert. Zeige, dass folgende Bedingunen
äquivalent sind:
(i) SI = Ω∗aus Ωein ist unitär.
(ii) Hein = Haus .