Ausgewählte Themen der Algebra für LA

Ausgewählte Themen der Algebra für
LA
Übung, LVA 405.731-2
C. Fuchs, C. Karolus
11. Übungsblatt, SS 2016
20.06.2016
1. Zeige, dass die ungeraden natürlichen Zahlen zusammen mit der Multiplikation von
N das Assoziativ- und Kommutativgesetz erfüllen und dass die Kürzungsregeln gelten. Wende nun die Methode zur Konstruktion von Z auf diese Menge an; geht das
und wenn ja, was für eine Menge erhält man?
2. Zeige: Jede rationale Zahl r hat genau einen Repräsentanten (a, b) ∈ Z × (Z\{0}),
so dass a und b teilerfremd sind und b ∈ N\{0} ist.
3. Sei R ein kommutativer Ring. Angenommen es gilt R = −P ∪ {0} ∪ P , wobei P eine
unter Addition und Multiplikation abgeschlossene Teilmenge von R ist. Zeige, dass
durch a ≤ b ⇔ b − a ∈ P ∪ {0} eine lineare Halbordnungsrelation auf R definiert
ist. Was ist die Menge P im Fall von Z, Q und R?
4. Formuliere in “Epsilontik”:
a) Die Folge (xn ) konvergiert nicht gegen c.
b) Die Folge (xn ) ist nicht konvergent.
c) Die Folge (xn ) ist keine Cauchy-Folge.
Beweise durch direkte Anwendung der Definition, dass die durch rn = 1/n2 gegebene
Folge (rn ) eine Cauchyfolge ist.