Analysis III

26. April 2016
Fachgruppe Angewandte Analysis und Numerik
Dr. Martin Gutting
Analysis III
Sommersemester 2016
Übungsblatt 2
Bitte geben Sie Ihre Lösungen der Aufgaben am Dienstag, 03. Mai 2016, in der Vorlesung ab. Die
Aufgaben werden von IhrenrÜbungsleiterin korrigiert und in der Übung vom 12. Mai 2016 besprochen.
Aufgabe 2.1 (10 Punkte):
Sei M eine nicht-leere Menge und R = FM
2 die Menge aller Abbildungen
f : M → F2
von M in den Körper F2 (die Addition in F2 werde mit ⊕, die Multiplikation in F2 mit bezeichnet).
(a) Zeigen Sie, dass R mit den folgenden Verknüpfungen
(f ⊕ g)(x) =f (x) ⊕ g(x),
(f g)(x) =f (x) g(x)
ein kommutativer Ring mit Einselement ist.
(b) Beweisen Sie, dass die Abbildung T : P(M ) → R, A 7→ T (A) = χA , die jeder Teilmenge A ⊆ M
ihre charakteristische Funktion
χA (x) =

1,
falls x ∈ A
0, falls x ∈
/A
zuordnet, bijektiv ist.
(c) Zeigen Sie, dass für alle A, B ∈ P(M ) gilt:
χA∆B = χA ⊕ χB ,
χA∩B = χA χB .
Beachte: Teile (b) und (c) zeigen, dass die Potenzmenge P(M ) ein zu R isomorpher Ring wird,
wenn man die symmetrische Differenz ∆ als Addition in P(M ) und ∩ als Multiplikation in
P(M ) einführt.
(d) Beweisen Sie, dass A ⊆ P(M ) genau dann ein Mengenring ist, wenn A ein Unterring von P(M )
bzgl. der in Teil (b) eingeführten Ringstruktur ist.
Bitte wenden!
Aufgabe 2.2 (6 Punkte):
Sei R ⊆ P(M ) ein Mengenring und µk : R → R̄≥0 , k ∈ N, eine Folge von Inhalten. Außerdem sei
(ck )k∈N ⊆ R≥0 eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen.
(a) Zeigen Sie, dass dann auch µ : R → R̄≥0 mit
µ=
∞
X
ck µ k
k=1
ein Inhalt auf R ist.
(b) Zeigen Sie, dass µ aus Teil (a) σ-additiv ist, falls alle µk σ-additiv sind.
Präsenzaufgabe 2.3 (Bearbeitung in der Übung):
Es seien R ⊆ P(M ) ein Mengenring und µ : R → R̄≥0 ein Inhalt darauf. Zeigen Sie:
(a) Seien A1 , A2 , A3 ∈ R mit µ(Ai ) < ∞, i = 1, 2, 3. Dann gilt:
µ(A1 ∪A2 ∪A3 ) = µ(A1 )+µ(A2 )+µ(A3 )−µ(A1 ∩A2 )−µ(A1 ∩A3 )−µ(A2 ∩A3 )+µ(A1 ∩A2 ∩A3 )
(b) Seien Ai ∈ R mit µ(Ai ) < ∞, i = 1, . . . , m. Dann gilt:
µ
m
[
i=1
!
Ai =
m
X
µ(Ai ) −
µ(Ai ∩ Aj )
i<j
i=1
+
X
X
µ(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) −
i1 <i2 <i3 <i4
i<j<k
+ −...
+ (−1)m−1 µ
X
m
\
i=1
!
Ai
µ(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 ∩ Ai4 )