3. ¨Ubungsblatt zur Einführung in die Algebra

Prof. Dr. Joachim Rosenthal
1. Oktober 2007
3. Übungsblatt zur Einführung in die Algebra
Herbstsemester 2007
Abgabe bis Montag, 8. Oktober um 10:15 in die Postkästen der Assistenten
(13) Klassifiziere alle Gruppen G mit |G| ≤ 5 bis auf Isomorphie.
Gib also Gruppen G1 , ..., Gn an und zeige, dass jede Gruppe G mit |G| ≤ 5 zu genau
einer der Gruppen Gi , 1 ≤ i ≤ n isomorph ist.
(14) Sei G eine Gruppe. Zeige:
(a) Eine Untergruppe H ⊆ G vom Index [G : H] = 2 ist bereits ein Normalteiler.
(b) Sei H ⊆ G eine Untergruppe so, dass x2 ∈ H für alle x ∈ G gilt. Dann ist H ein
Normalteiler in G und G/H ist abelsch.
(15) Seien G und H Gruppen und A ⊆ G, B ⊆ H Normalteiler. Zeige mit Hilfe des
Homomorphiesatzes: Es ist A × B ein Normalteiler in G × H und es gilt
(G × H)/(A × B) ∼
= G/A × H/B.
(16) Seien G = hai und H = hbi endliche zyklische Gruppen mit n := |G| und m := |H|.
Zeige: Genau dann ist G × H zyklisch, wenn n und m teilerfremd sind. In diesem Fall
gilt G × H = h(a, b)i.
Hinweis: n und m sind teilerfremd ⇔ kgV(n, m) = nm ⇔ ∃ x, y ∈ Z : xn + ym = 1.
(17) Eine Gruppe G mit neutralem Element e heisst einfach, wenn {e} und G die einzigen
Normalteiler von G sind. Zeige: Eine endliche abelsche Gruppe G 6= {e} ist genau
dann einfach, wenn |G| eine Primzahl ist.
(18) Sei f : G → G′ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Äquivalenz der Aussagen:
(i) f ist injektiv;
(ii) für jede Gruppe H und für je zwei Gruppenhomomorphismen hi : H → G,
i = 1, 2 folgt aus f ◦ h1 = f ◦ h2 bereits h1 = h2 .
(“Die injektiven Gruppenhomomorphismen sind gerade die Linkskürzbaren.”)
Hinweis: Für die eine Richtung kann H = (Z, +) verwendet werden.