“Fouriertransformation und Distributionen” Sommersemester 2012

TU Braunschweig, Institut Computational Mathematics
Prof. Dr. R. Hempel und M.Sc. M.Ed. M. Stautz
17. 04. 2012
Blatt 1
Übungen zu “Fouriertransformation und Distributionen”
Sommersemester 2012
Aufgabe 1. (a) Sei (Tα )α∈A eine Familie von Topologien auf der Menge S. Zeigen Sie,
daß
o
n
\
Tα := U ∈ 2S U ∈ Tα für alle α ∈ A
α∈A
eine Topologie auf S ist.
(b) Sei Σ = (Mα )α∈A eine Familie von Teilmengen von S. Zeigen Sie, daß es eine (eindeutig
bestimmte) kleinste Topologie T (Σ) auf S mit T (Σ) ⊇ Σ gibt und daß T (Σ) aus ∅,
S, allen endlichen Durchschnitten der Mα und allen beliebigen Vereinigungen solcher
Durchschnitte besteht.
Aufgabe 2. (a) Seien S und T topologische Räume. Zeigen Sie, daß eine Abbildung
f : S −→ T genau dann
stetig
ist, wenn für alle konvergenten Netze (xα )α∈A in S mit
in T gegen f (x) konvergiert.
xα → x ∈ S das Netz f (xα )
α∈A
(b) Sei S ein Hausdorff-Raum. Zeigen Sie, daß dann jedes Netz höchstens einen Grenzwert
besitzt.
Aufgabe 3. (a) Sei f ∈ L1 (R) und
1
fˆ(k) := (2π)− /2
Z
e−ikx f (x) dx
R
(k ∈ R) .
Man zeige, daß fˆ stetig und beschränkt ist mit
(2π) /2 sup |fˆ(k)| ≤ kf kL1 :=
1
k∈R
Z
|f (x)| dx .
R
(b) Es sei χ[a,b] die charakteristische Funktion des Intervalls [a, b] ⊆ R. Man berechne die
Fouriertransformierte F χ[a,b] := χd
[a,b] .
(c) Sei τ eine endliche Linearkombination von charakteristischen Funktionen zu beschränkten Intervallen, d.h., es gebe ein s ∈ N, Zahlen αj ∈ C und endliche Intervalle
P
Ij ⊆ R, j = 1, . . . , s mit τ = sj=1 αj χIj (man nennt dann τ eine Treppenfunktion). Man
zeige τ̂ ∈ C0 (R) := {u ∈ C(R) | u(k) → 0 für |k| → ∞}.
Aufgabe 4. Sei f ∈ L1 (R). Unter Verwendung von Aufgabe 3 (c) zeige man fˆ ∈ C0 (R).
Hinweis: Man darf ohne Beweis benützen, daß die Treppenfunktionen dicht in L1 liegen,
d.h., zu f ∈ L1 und ε > 0 gibt es eine Treppenfunktion τ mit kf − τ kL1 < ε.)
Abgabe: Dienstag, 24. 04. 2012, vor der Vorlesung.