5. ¨Ubungsblatt zur Geometrie/Topologie

Prof. Dr. V. Schroeder
Herbstsemester 2010
5. Übungsblatt zur Geometrie/Topologie
Abgabe: Donnerstag, den 28. Oktober 2010 bis 12 Uhr in die Postfächer.
Aufgabe 17
Beweise den Satz von Borsuk-Ulam für n = 1.
Aufgabe 18
Gilt der Satz von Borsuk-Ulam für den Torus?
D.h. muss für jede Abbildung f : S 1 × S 1 7→ R2 ein (x, y) ∈ S 1 × S 1 existieren, so dass
f (x, y) = f (−x, −y)?
Begründe Deine Antwort.
Aufgabe 19
n
Betrachte den projektiven Raum RP n := S / ∼ für n ≥ 0, wobei die Äquivalenzrelation
∼ definiert ist durch
x ∼ y :⇔ x = y oder x = −y,
versehen mit der induzierten Topologie.
1. Zeige, dass p : S n → RP n , x 7→ [x] eine Überlagerung ist.
2. Betrachte die Punkte N := (1, 0, . . . , 0) ∈ S n und S := (−1, 0, . . . , 0) ∈ S n und
x0 := [N ] = [S] ∈ RP n . Für eine Schleife α in x0 sei α
e der Lift mit Anfangspunkt
N.
Zeige:
(a) α
e(1) ∈ {N, S}.
(b) Die Abbildung χ : π1 (RP n , x0 ) → {1, −1} mit
(
1
wenn α
e(1) = N
χ([α]) =
−1 wenn α
e(1) = S
ist ein Gruppenhomomorphismus.
Aufgabe 20
Seien X, Y topologische
Räume, x0 ∈ X, y0 ∈ Y . Die Abbildung
ϕ : π1 X × Y, (x0 , y0 ) → π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ), sei definiert durch ϕ([σ], [τ ]) := [(σ, τ )],
wobei (σ, τ ) : I → X × Y , s 7→ (σ(s), τ (s)) den Produktweg bezeichnet.
1. Zeige, dass ϕ ein Isomorphismus ist.
2. Seien cx0 der konstante Weg in X und cy0 der konstante Weg in Y .
Zeige, dass dann [(σ, cy0 )] und [(cx0 , τ )] kommutieren.