Quantenmechanik großer Systeme

Quantenmechanik großer Systeme
WS 2013/2014
5. Aufgabenblatt
20. Zeige, dass die klassischen Newtonschen Bewegungsgleichungen für ein Teilchen mit Ladung
q in einem Magnetfeld B und der Lorentz-Kraft K = qv × B in der kanonischen Hamil1
tonschen Form geschrieben werden können mit der Hamiltonfunktion H = 2m
(p − qA)2 .
21. Betrachte die klassische Bewegung eines Teilchens mit Masse m und Ladung q in einem
homogenen Magnetfeld B = (0, 0, B). Zeige:
(i) Die Bewegung ist die Überlagerung einer gleichförmigen linearen Bewegung in die zRichtung und einer gleichmässigen Rotation in der xy-Ebene mit Winkelgeschwindigkeit
(Zyklotronfrequenz)
ωB = |q|B/m.
(ii) Schreibe den Betrag des Drehimpulses bezüglich des Mittelpunkts der Kreisbahn als
λh̄, λ ≥ 0. Zeige: Der Radius der Rotationsbewegung ist
r = λ1/2 `B
mit der “magnetischen Länge”
`B =
h̄
|q|B
!1/2
.
Die Energie ist
mv 2
λ
= h̄ωB .
2
2
1
Insbesondere gilt: Falls die Energie En = (n + 2 )h̄ωB beträgt, so ist der Radius
√
rn = (n + 21 )1/2 2`B .
E=
22. Betrachte jetzt die quantenmechanische Beschreibung. Eine Eichtransformation ändert das
Vektorpotential A zu A + ∇χ/q und unterwirft gleichzeitig alle Observable O der unitären
Transformation O 7→ eiχ Oe−iχ .
(i) Berechne die Einchtransformation, die die symmetrische Eichung für ein konstantes
Magnetfeld, Asymm = B2 (−y, x, 0), in die Landau-Eichung ALan = B(−y, x, 0) überführt.
(ii) Zeige allegmein, dass die Komponenten von π = p − qA eichinvariant sind.
(iii) Der eichinvariante (physikalische) Drehimpuls ist definiert als Lphys = mπ×r. Berechne
den Erwartungswert des physikalischen Drehimpulses in den Zuständen ψ0,` im niedrigsten
Landau-Niveau.