12. Hausübung zur Quantenmechanik WS 16/17

12. Hausübung zur Quantenmechanik
WS 16/17
Abgabe am Donnerstag, den 2.2.17 in der Vorlesung
Aufgabe 33: Bewegung im homogenen Magnetfeld
In der Vorlesung ist das Spektrum der Bahnbewegung geladener Teilchen der Ladung −e0 in der Ebene senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld hergeleitet
worden,
E⊥ = ~ω(n + 21 ) .
Dabei ist ω = e0 B/mc die Zyklotronfrequenz für ein Magnetfeld der Stärke B.
Hier wollen wir ein System gemeinsamer Eigenzustände des zugehörigen Hamiltonoperators und der erhaltenen z-Komponente des Drehimpulses bestimmen. Wir
wollen Energien in Einheiten von ~ω und Drehimpulse in Einheiten von ~ messen.
Dann ist der Hamiltonoperator laut Vorlesung
H⊥ = a+ a + 12 ,
wobei die Leiteroperatoren a und a+ durch
a=
1
2
u + i∂v + iv + ∂u ) ,
a+ =
1
2
u + i∂v − iv − ∂u )
definiert sind. u = y/γ und v = x/γ sind die Koordinaten des Teilchens in Einheiten der magnetischen Länge γ = 2~/mω.
(i) Führe zunächst komplexe Koordinaten
z = u + iv ,
z̄ = u − iv
ein, und drücke a und a+ sowie H⊥ und Lz durch z, z̄, ∂z und ∂z̄ aus!
(ii) Welche Operatoren b und b+ ergeben sich durch Vertauschen von z und z̄,
sowie ∂z und ∂z̄ in den Ausdrücken für a und a+ ? Zeige, daß
[a, b] = [a, b+ ] = [a+ , b] = [a+ , b+ ] = 0 .
(iii) Drücke den Operator Lz durch a, a+ , b und b+ aus! Wie folgt nun einfach
[H⊥ , Lz ] = 0?
(iv) Bestimme einen normierten Zustand der gleichzeitig von a und b vernichtet
wird! Ausgehend von diesem Zustand konstruiere alle normierten gemeinsamen Eigenzustände von Lz und H⊥ . Skizziere das Spektrum von H⊥ und Lz
in der E⊥ -Lz -Ebene!
(v) Wie lautet die explizite Form aller Eigenfunktionen mit E⊥ =
der Eigenfunktion mit E⊥ = 32 , Lz = 1?
1
2
und wie die
(vi) Berechne für die Eigenfunktionen mit E⊥ = 12 aus dem vorangegangenen
Aufgabenteil den Erwartungswert von r2 = u2 + v 2 .
(6 Punkte)
Aufgabe 34: Magnetisches Moment
Wir wollen das magnetische Moment des Elektrons in einem Wasserstoff-Eigenzustand |n, `, mi unter Vernachlässigung des Elektronenspins berechnen.
(i) Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
eines Teilchens der Masse M hatten wir
als j = (pψ) ψ + ψ pψ /2M eingeführt. Wir schreiben die Wellenfunktion
als ψ = |ψ|eiφ . Zeige, dass dann
j=
~|ψ|2 ∇φ
M
ist.
(ii) Berechne die Wahrscheinlichkeitsstromdichte im Eigenzustand hx|n, `, mi =
Rn,` (r)Y`,m (ϑ, ϕ). Im Allgemeinen ist diese ungleich Null. Warum ergibt sich
daraus kein Widerspruch zu der Tatsache, dass |n, `, mi ein Eigenzustand ist?
h∇, ji =? Deutung?
(iii) Die zu j gehörige elektrische Stromdichte ist jel = −e0 j. Berechne mit dem
Resultat aus (ii) das magnetische Moment des Elektrons im Zustand |n, `, mi.
Drücke das Resultat als Matrixelement des Drehimpulsoperators aus!
(iv) Was passiert mit unserem Wasserstoffatom in einem p-Zustand, wenn es ein
schwaches, inhomogenes Magnetfeld durchläuft?
(6 Punkte)
Aufgabe 35: Pauli-Matrizen
In der Vorlesung wurde der Spin in der Form S = ~2 σ geschrieben mit den drei
Paulimatrizen






0 1
0 −i
1 0
 , σy = 
 , σz = 

σx = 
1 0
i 0
0 −1
als Komponenten des Vektors σ. Zeige, dass für diese Matrizen folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(i) σi σj = δij I2 + iijk σk mit dem total antisymmetrischen Tensor ijk und der
2 × 2-Einheitsmatrix I2 ,
(ii) die Paulimatrizen antikommutieren,
(iii) S2 = s(s + 1)~2 mit s = 1/2,
(iv) hσ, aihσ, bi = ha, biI2 + ihσ, a × bi mit beliebigen dreikomponentigen Vektoren a und b ∈ C3 .
(6 Punkte)