Blatt 4

5. November 2015
T2 - Quantenmechanik I
WS 15/16 - Prof. Scrinzi
Übungsblatt 4
4.1: (T) Der Hamiltonoperator ist Hermitesch
Motivation: Aus der Erhaltung der Wahrscheinlichkeit folgen bereits die allgemeine Form der
Schrödingergleichung und die Hermitizität des Hamiltonoperators. Hier soll Letzteres gezeigt
werden.
(a) Nimm H = L2 (R) an und zeige, dass für die Ableitung von Skalarprodukten die übliche
Produktregel gilt, also für Ψa , Φa ∈ H:
∂a hΦa |Ψa i = h∂a Φa |Ψa i + hΦa |∂a Ψa i
(1)
wobei a ein beliebiger Parameter sei (zB die Zeit t). (In Ortsdarstellung sieht Ψa also so
aus: Ψa (x).) Hier müssen Integral und Ableitung vertauscht werden, worauf muss man
dabei achten?
(b) Zeige, dass dies für beliebige Hilberträume gilt. Welche Bedingung sollte man an ∂a |Ψa i
und/oder ∂a |Φa i stellen (hinreichende Bedingung)?
(c) Benutze die Schrödingergleichung, die Produktregel und die Definition des hermitesch
b † , um zu zeigen, dass aus der Normerhaltung die Hermitizität
konjugierten Operators H
b =H
b † ) folgt.
(H
4.2: (T) Heisenbergsche Unschärferelation
Die allgemeine Unschärferelation schreibt man als
1 Dh b b iE
b
b
∆A∆B ≥ A, B ,
2
q
b =
b2 i − hQi
b 2 die Varianz bezeichnet. Führe den Beweis nach der folgenden
wobei ∆Q
hQ
einfachen Anleitung aus.
b ein beliebiger (auch nicht-hermitischer) Operator. Zeige, dass
(a) Sei C
b† Ci
b ψ ≥ 0 ∀Ψ ∈ H.
hC
b und B
b zwei hermitesche Operatoren. Nimm zunächst an hAi
b = hBi
b = 0. Schreibe
(b) Seien A
i
b := λA
b+ B
b und verwende das Obige um eine Ungleichung zu erhalten. Passe λ so an,
C
λ
bB
b folgt.
dass die Unschärferelation für diese speziellen A,
b hBi
b =
(c) Verallgemeinere für hAi,
6 0.
1
b = Pb und B
b = X?
b
(d) Was ergibt sich für Orts- und Impulsoperator, A
4.3: (Z) Wellenfunktionen in Ortsdarstellung sind differenzierbar
Motivation: Unstetigkeiten in der Ortswellenfunktion implizieren das Auftreten unendlich großer
Impulse und sind somit unphysikalisch. Das sieht man auch daran, dass nach Anwendung des
Impulsoperators das Ergebnis nicht mehr normierbar ist, also kein Element mehr von L2 ist.
Nur differenzierbare Funktionen gehören zum ”Definitionsbereich” des Impulsoperators.
Es sei die Wellenfunktion eines Teilchens gegeben durch ψ(x) = αχ[a,b] (x) mit a < b.
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Impuls.
(b) Berechne den Erwartungswert des Impulses in Orts- und Impulsdarstellung.
(c) Berechne den Erwartungswert der kinetischen Energie in Impulsdarstellung. Was passiert
in der Ortsdarstellung?
4.4: (Z) Eigenfunktionen - kontinuierliches Spektrum - Bra-Ket Notation
Motivation: Wir unterscheiden zwischen Eigenvektoren und Eigenfunktionen eines Operators.
Die Eigenvektoren sind Elemente des Hilbertraums (repräsentieren also sinnvolle Zustände des
Systems) während es Eigenfunktionen im allgemeinen nicht sind (jeder Eigenvektor ist auch
Eigenfunktion, aber nicht umgekehrt). In der Bra-Ket Notation wird diese Unterscheidung unterschlagen, was sie einerseits sehr kompakt und hübsch macht, andererseits Verwirrung stiften
kann. Wenn man sich der Unterscheidung bewusst bleibt, ist die Bra-Ket Notation ein sehr
mächtiges Werkzeug.
b : H → H dessen Spektrum σ(A)
b sowohl aus diskretem SpekBetrachte einen Operator A
b (auch Punktsprektrum oder diskrete Eigenwerte genannt) als auch kontinuierlichem
trum σp (A)
b besteht, also
Spektrum σc (A)
b = σp (A)
b ∪ σc (A)
b = {a0 , a1 , . . . aN } ∪ [a0(c) , a(c)
σ(A)
1 ].
(2)
Die Eigenvektoren zum diskreten Spektrum existieren immer (als Elemente des Hilbertraums):
b i = Φi ai . Nimm an, dass auch Eigenfunktionen für das kontinuierliche Spektrum
Φi ∈ H : AΦ
b a = φa a mit a ∈ σc (A).
b (Siehe Vorlesungsmaterialien:
defniert werden können: φa ∈
/ H : Aφ
StrukturQM.pdf)
b
(a) Zeige, dass für Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums φa , φa0 mit a, a0 ∈ σc (A)
gelten muss
Z
hφa |φa0 i = dx φ∗a (x)φa0 (x) = δ(a − a0 ).
(3)
b −1 U
b b = 1.
b bU
b −1 = U
Hinweis: Verwende U
b
b
A
A A
A
(b) Unter welcher Bedingung gilt auch die “Umkehrung”?
Z
da φa (x)∗ φa (x0 ) = δ(x − x0 )
(Lege fest, über welchen Bereich der a integriert wird.)
2
(4)
(c) Wie würde man beides in Bra-Ket Notation schreiben? Also mittels der |ai i ≡ Φi ,
b (für das kontinui ∈ {1, . . . , N } (für das diskrete Spektrum) und der |ai ≡ φa , a ∈ σc (A)
ierliche Spektrum)?
b = Pb.
(d) Verifiziere obige Punkte explizit für den Impulsoperator A
4.5: (T) Freies Teilchen
Die Ortswellenfunktion eines Teilchens (in einer Dimension) der Masse m sei gegeben durch
ψ0 (x) = N exp − a(x − x0 )2 + ikx
(5)
mit k ∈ R, a > 0 und N ∈ C.
(a) Normiere die Wellenfunktion und argumentiere weshalb N ∈ R gewählt werden kann.
(b) Was sind die Erwartungswerte und wahrscheinlichsten Werte für Ort und Impuls bei einer
Messung?
p̂2
t mit t ∈ R
(c) Für den Zeitentwicklungsoperator eines freien Teilchens Ût := exp − i 2m~
berechne ψt := Ût ψ0 . (Funktionen von Operatoren sind über die Spektraldarstellung
definiert, siehe Aufgabe 2.4.)
(d) Berechne die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort als Funktion von t und skizziere diese
für ausgewählte t. Interpretiere das Ergebnis.
(e) Verifiziere, dass ψt die Schrödingergleichung eines freien Teilchens
i~
p̂2
d
ψt =
ψt
dt
2m
(6)
mit der Anfangsbedingung ψt=0 = ψ0 erfüllt.
4.6: (T) Translationsoperator
Motivation: Den Impuls als Erzeuger von Verschiebungen in der klassischen Mechanik haben wir
bereits betrachtet. Hier nun der quantenmechanische Operator welcher endliche Verschiebungen
generiert.
ip̂a
Der Translationsoperator ist gegeben durch T̂a := exp − ~ mit a ∈ R.
(a) Berechne [x̂, T̂a ].
(b) Zeige, dass für eine beliebige Eigenfunktion |xi des Ortsoperators auch T̂a |xi wieder eine
Eigenfunktion ist.
(c) Zeige, dass T̂a Funktionen verschiebt, also T̂a ψ (x) = ψ(x − a).
3