Ubungen zur Vorlesung Quantenmechanik I

Prof. Dr. M. E. Garcia
Tobias Zier
Universität Kassel
Fachbereich 10
Quantenmechanik I
SS 2012
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik I
Übungsblatt 8
Abgabe: Mittwoch, den 13.06.2012 in der Vorlesung
Aufgabe 1
10 Punkte
Man betrachte ein Teilchen mit einem räumlichen Freiheitsgrad x ∈ R. Der Operator Π,
der im Zustandsraum H des Teilchens der Koordinatentransformation x0 ≡ Px := −x
zugeordnet ist, kann formal durch seine Wirkung im Basissytem der Eigenzustände
|xi des Ortsoperators X gemäß Π |xi := |Pxi = |−xi definiert werden. Π wird als
Inversionsoperator bzw. als Paritätsoperator bezeichnet. Man zeige, dass
• Π−1 = Π† = Π gilt.
• Π nur die Eigenwerte π = +1, −1 besitzen kann.
• hu|T |vi = 0 ist, falls |ui und |vi Eigenvektoren von Π zum selben Eigenwert π
sind, und T ein in H definierter ungerader Operator ist, d.h. ein Operator, für den
ΠT Π† = −T gilt.
• der Ortsoperator X und der Impulsoperator P eines Teilchens mit einem räumlichen
Freiheitsgrad x ∈ R ungerade Operatoren sind, d.h. dass
ΠXΠ† = −X
,
ΠP Π† = −P
Aufgabe 2
10 Punkte
(a) Man berechne für l = 3 die Matrixdarstellung von L+ , L− , Lz und L2 .
(b) Man nehme an, dass {|jmi} eine Standardbasis von Drehimpulseigenzuständen sei
(j, m Quantenzahlen zu J~2 und Jz ). In welchen der Zustände |jmi zu festem j besitzt die
Unbestimmheit der Komponenten Jx und Jy des betreffenden Drehimpulses den kleinsten
Wert und wie groß ist dieser?
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Aufgabe 3
10 Punkte
(a)Man berechne die Wahrscheinlichkeitsdiche |Ψn (x)|2 für den harmonischen Oszillator
und den Fall n = 100.
(b)Man berechne die klassische Wahrscheinlichkeitsdichte Wklassisch für den klassischen
Oszillator mit Bahngleichung x(t) = q0 sin(ωt)
Wklassisch (x)dx =
dt
,
T
wobei dt der Zeitraum ist, indem man den klassischen Oszillator im Raumelement dx
ist die Periodendauer.
findet. T = 2π
ω
(c) Man zeichne die beiden Wahrscheinlichkeitsdichten unter zur Hilfenahme eines Computerplotprogramms und diskutiere die Ergebnisse.
Aufgabe 4
Ein sogenannter kohäherenter Zustand des harmonischen Oszillators ist gegeben durch
10 Punkte
−|α|2 /2
Φα (x) = e
∞
X
αn
√ Ψn (x)
n!
n=0
mit α ∈ C
wobei Ψn die Eigenfunktionen des Hamiltonoperators sind.
(a) Man zeige, dass Φα Eigenfunktion des Vernichtungsoperators ist und gebe den Eigenwert an.
(b) Man zeige, dass Φα normiert ist.
(c) Man berechne die Wahrscheinlichkeit in einem kohärenten Zustand Φn die Energie
En zu messen und zeige, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte Wn als Poissonverteilung geschrieben werden kann.
(d) Man berechne den Mittelwert von x als Funktion der Zeit.