¨Ubung zur Theoretische Physik II (WS 2007/08),¨Ubungsblatt 5

Übung zur Theoretische Physik II (WS 2007/08), Übungsblatt 5
A. J. Daley und K. Hammerer
ausgeteilt: Freitag, den 9.11.2007
abzugeben: Freitag, den 16.11.2007.
14. (15 Punkte) Bra-Ket Schreibweise: |ψn i seien Eigenzustände eines hermiteschen Operators H. Nimm an,
die |ψn i bilden eine diskrete Orthonormalbasis.
†
(a) Der Operator Umn ist definiert als Umn = |ψm ihψn |. Berechne den adjungierten Operator Umn
, den
Kommutator [Umn , H] und zeige Umn Upq = δnp Umq .
(b) Zeige, dass für einen beliebigen Operator A und amn = hψm |A|ψn i gilt
X
A=
amn Unm
m,n
(c) Seien
1
i
1
|ϕi = √ |ψ1 i + |ψ2 i + |ψ3 i,
2
2
2
|χi =
1
1
|ψ1 i + |ψ3 i.
3
4
Sind diese Vektoren normiert? Sind sie orthogonal? Berechne die Projektoren auf die Vektoren |ϕi und
|χi und zeige, dass die Projektoren selbstadjungierte Operatoren sind.
(d) Seien |ϕi und |χi zwei beliebige Vektoren im Zustandsraum. Unter welcher Bedingung ist K = |ϕihχ|
hermitesch? Unter welcher Bedingung ist K ein Projektor? Zeige, dass K immer als K = αP1 P2
geschrieben werden kann, wobei die Pi Projektoren sind und α ∈ C.
(e) Es gelte H|ψn i = λn |ψn i und die Eigenwerte λn seien nicht entartet. Zeige, dass der sogenannte
Nulloperator
Y
Π0 =
(H − λn )
n
für alle Vektoren |ϕi die Relation Π0 |ϕi = 0 erfüllt. Wie wirkt der Operator
Y H − λn ?
λm − λn
n:n6=m
Kann dieser Operator auch anders ausgedrückt werden?
(f) Berechne die Matrixelemente des Impulsoperators p̂ in der Ortsdarstellung, hx0 |p̂|xi, mit Hilfe √
der Impulsdarstellung hp0 |p̂|pi = δ(p0 − p)p, und der bekannten Wellenfunktion hx0 |p0 i = exp(ip0 x0 /~)/ 2π~.
15. (15 Punkte) Zweidimensionaler harmonischer Oszillator: Betrachte die zweidimensionale
Bewegung
p
2 2
2
2
eines Teilchens der Masse m in einem Potential der Form V (r) = mω r /2 mit r = x + y .
(a) Betrachte nun den Hamiltonoperator Ĥ des Systems und zeige, dass dieser sich als Summe Ĥ = Ĥx + Ĥy
schreiben lässt, wobei Ĥx und Ĥy Hamiltonoperatoren von eindimensionalen harmonischen Oszillatoren
sind. Führe für diese Oszillatoren die Auf- und Absteigeoperatoren âx , â†x und ây , â†y ein und drücke
Ĥ durch diese aus. Was folgt damit für die Energieeigenwerte von Ĥ? Drücke die zugehörigen Energieeigenfunktionen mit Hilfe des Grundzustandes |φ00 i = |φx0 , φy0 i (wobei âx |φx0 i = 0 und ây |φy0 i = 0)
und den Aufsteigeoperatoren â†x und â†y aus.
Tipp: Siehe Skriptum, Quantenmechanik I 2007-01, Kapitel ”Eindimensionaler harmonischer Oszillator”.
(b) Bildet Ĥ einen vollständigen Satz kommutierender Obersvablen (VSKO)? In anderen Worten: Ist bei
gegebenem Energieeigenwert der Eigenzustand eindeutig bestimmt? Falls nein, gib die Entartung der
einzelnen Energieniveaus an.
(c) Betrachte den Drehimpulsoperator L̂z = X̂ P̂y − Ŷ P̂x und drücke diesen durch die Auf- und Absteigeoperatoren âx , â†x und ây , â†y aus. Zeige, dass [Ĥ, L̂z ] = 0.
1
(d) Aufgrund von [Ĥ, L̂z ] = 0 muss ein System gemeinsamer Eigenzustände von Ĥ und L̂z existieren. Diese
können wie folgt konstruiert werden:
√
√
Definiere neue Absteigeoperatoren durch âr = (âx − iây )/ 2 und âl = (âx + iây )/ 2. Zeige, dass
[âr , â†r ] = [âl , â†l ] = 1 und [âr , â†l ] = [âl , â†r ] = 0. Drücke Ĥ und L̂z durch die Auf- und Absteigeoperatoren
âr , â†r und âl , â†l aus. Was folgt für das Spektrum von Ĥ und L̂z ? Drücke die Eigenzustände mit Hilfe
des Grundzustandes |φ00 i = |φr0 , φl0 i (wobei âr |φr0 i = 0 und âl |φl0 i = 0) und den Aufsteigeoperatoren â†r
und â†l aus. Bilden Ĥ und L̂z einen VSKO?
(e) Das Teilchen befinde sich in einem kohärenten Zustand |αx , αy i = |αx i|αy i, wobei âx |αx i = αx |αx i und
ay |αy i = αy |αy i. Der zeitlich evolvierte Zustand ist dann (vgl. Aufgabe 7) |αx e−iωt , αy e−iωt i. Zeige,
dass hL̂z (t)i = const. Sei αx = |αx |e−iψx und αy = |αy |e−iψy . Der Drehimpuls hängt nur von |αx |, |αy |
und der relativen Phase ψx − ψy ab. Wie ist das physikalisch zu interpretieren?
2