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7. Hausübung zur Elektrodynamik
Sommersemester 2015
Abgabe am Dienstag, den 02.06.15, in der Vorlesung
Aufgabe 18 Elektrische Quadrupolstrahlung
In der Vorlesung wurde der elektrische Dipolbeitrag zur abgestrahlten Leistung in der Fernzone berechnet. Hier soll der Quadrupolbeitrag betrachtet werden. Das entsprechende Vektorpotential wurde in der Vorlesung zu
a2 (x) =
ik 2
Qx
3r2
bestimmt. Dabei ist Q der elektrische Quadrupoltensor, k die Wellenzahl und r = |x|.
1. Berechne die zugehörigen Felder in der Fernzone!
2. Gib den Poyntingvektor S und die Energiedichte U an!
3. Wie groß ist die im zeitlichen Mittel in den Raumwinkel dΩ abgestrahlte Leistung, wenn
der Quadrupoltensor symmetrisch ist? Skizziere das Ergebnis in einem Polardiagramm!
Hinweis: Beachte Aufgabe 9 (ii) und wähle das Koordinatensystem so, dass die z-Achse
mit der Symmetrieachse der Ladungsverteilung übereinstimmt.
(6 Punkte)
Aufgabe 19 Einteilchensender
Eine Punktladung q bewege sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω auf einer Kreisbahn
vom Radius R. Wir wollen die erzeugten Felder und den Energiestrom in der Fernzone r =
|x| R berechnen.
1. Gib die Stromdichte j(x, t) an, und berechne zunächst das Vektorpotential mittels der
allgemeinen Formel für die retardierten Potentiale (nur führende Ordnung in r berücksichtigen). Wie lautet dann das Magnetfeld? Hinweis: Das Magnetfeld ist von der Form
B(x, t) = B0 f (r) n × e(r, t) ,
n = x/r .
2. Gib E(x, t) an, und zeige, daß der Poyntingvektor
S(x, t) =
S0 n
1 − [n · e(r, t)]2
2
r
ist! Was ist hier S0 , und wie groß ist der zeitliche Mittelwert von |S|?
(6 Punkte)
Aufgabe 20 Die bewegte Ladung
Wie sich aus der in der Vorlesung hergeleiteten, allgemeinen Formel ergibt, nimmt das elektrische Feld einer gleichförmig mit Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegten Ladung q die
Gestalt
γ
qx
E(x, y, z, t) = 23 · |x|3
2
2
1 + (γ − 1) cos (θ)
an. Dabei zeigt x = (x − vt, y, z) vom Ort vtex der Ladung zum Aufpunkt des Feldes. θ ist
der Winkel den x mit der x-Achse einschließt, und γ −2 = 1 − (v/c)2 . Berechne den Winkel α,
der dadurch bestimmt ist, daß gerade die Hälfte des gesamten Flusses des elektrischen Feldes
durch den von θ = π2 − α bis θ = π2 + α reichenden Teil einer (momentan) um die Ladung
gelegten Kugeloberfläche geht. Was ergibt sich speziell für γ 1? Anmerkung: Der Winkel α
ist ein Maß für die relativistische Abplattung des Feldes senkrecht zur Bewegungsrichtung.
(6 Punkte)