5.¨Ubungsblatt zur Vorlesung TP3

5. Übungsblatt zur Vorlesung TP3 - Quantenmechanik
Prof. Dr. A. Klümper; WS 2010/2011
Abgabe:
(Postfach Nawrath, D, Ebene 10)
Besprechung:
16.11.2010 vor der Vorlesung
18.11.2010
Aufgabe 1 : Tunneleffekt
10 Punkte
Wir betrachten wieder die Schrödinger-Gleichung in einer Raumdimension:
∂
~2 ∂ 2
+ V (x) Ψ(t, x)
i ~ Ψ(t, x) = −
∂t
2m ∂x2
V0 falls |x| < a
mit V (x) =
, V0 > 0
0 falls |x| ≥ a
(1)
(2)
Mithilfe des Lösungsansatzes
i
Ψ(t, x) = e− ~ Et ϕ(x),
E ∈ R
(3)
sollen für E < V0 die stationären Lösungen der Gleichung (1) bestimmt werden. Es
werde dabei vorausgesetzt, dass ϕ(x) überall stetig differenzierbar ist.
a) Zeige, dass die Lösung folgende Form hat:

i kx

+ Be−i kx falls x ≤ −a

 Ae
0
0
ϕ(x) =
Cek x + De−k x falls |x| < a mit


 F ei kx + Ge−i kx falls x ≥ a
k=
q
2mE
~2
(4)
0
k =
q
2m(V0 −E)
~2
wobei A, B, C, D, F, G ∈ C.
b) Zeige, dass aus der Forderung nach stetiger Differenzierbarkeit von ϕ(x) bei x = −a
folgt, dass
0
0
1
C
(1 + i kk0 )e(k −i k)a
(1 − i kk0 )e(k +i k)a
A
=
(5)
0
0
D
B
2
(1 − i kk0 )e−(k +i k)a (1 + i kk0 )e−(k −i k)a
c) Zeige außerdem, dass aus denselben Gründen bei x = a folgt, dass
!
0
0
0
0
1
F
(1 − i kk )e(k −i k)a (1 + i kk )e−(k +i k)a
C
=
0
0
0
0
G
D
2
(1 + i kk )e(k +i k)a (1 − i kk )e−(k −i k)a
(6)
d) Setze nun
α :=
k0
k
− 0
k
k
β :=
k0
k
+ 0
k
k
c := cosh(2k 0 a) s := sinh(2k 0 a)
(7)
1
Dann gilt natürlich c2 − s2 = 1 und β 2 − α2 = 4. Zeige jetzt, dass aus (5) und (6)
folgt, dass
F
G
1
=
2
(c − i α2 s)e−2i ka
i β2 s
−i β2 s
(c + i α2 s)e2i ka
A
B
(8)
e) Für x > a kann die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung wie folgt
nach den Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung entwickelt werden:
Z
~k2
1
dk e−i 2m t (F ei kx + Ge−i kx )Φ0 (k)
(9)
Ψ(t, x) = √
2π
mit
1
Φ0 (k) = √
2π
Z
dy e−i ky Ψ0 (y)
(10)
wobei Ψ0 (x) = Ψ(0, x) die vorgegebene Wellenfunktion zum Zeitpunkt t = 0 ist.
Wir wollen nun den speziellen Fall betrachten, dass ein Teilchen von links einläuft,
d.h. für t = 0 gelte Ψ0 (x) = 0 für x > −a.
Zeige, dass diese Anfangsbedingung impliziert, dass G = 0 sein muss.
Tipp: Berechne dazu (9) für t = 0.
f) Zeige, dass für den Transmissionskoeffizienten dann
2
F 1
T (E) := =
A
1 + (1 +
α2 2
4 )s
=
4E(V0 − E)
q
(11)
8ma2 (V0 −E)
2
2
4E(V0 − E) + V0 sinh
~2
folgt.
g) Berechne auch den Reflexionskoeffizienten R(E) := |B/A|2 und zeige, dass
R(E) + T (E) = 1
(12)
h) Falls E > V0 ist, kommt ein Teilchen klassisch immer über die Barriere. Quantenmechanisch ist der Transmissionskoeffizient aber nicht immer gleich 1 : Untersuche, inwiefern obige Gleichungen mit der Substitution k 0 = i k 00 mit k 00 =
p
2m(E − V0 )/~2 auch für E > V0 gelten und zeige, dass für den Transmissionskoeffizienten dann
T (E) =
4E(V0 − E)
q
8ma2 (V0 −E)
2
2
4E(V0 − E) + V0 sin
~2
gilt.
Tipp: sinh (i x) = sin(x) und cosh (i x) = cos(x) für x ∈ R.
2
(13)
Aufgabe 2 : Spezielle Oszillatorzustände
6 Punkte
Unter Ausnutzung der Algebra von Absteige- und Aufsteigeoperatoren des harmonischen Oszillators mit
1
Ĥ = ~ω(b̂† b̂ + )
(14)
2
sollen die durch x0 ∈ C parametrisierten Eigenzustände |x0 i des Absteigeoperators
untersucht werden, ohne die Ortsdarstellung der Energieeigenzustände hx, ni zu benutzen. Die definierende Gleichung für |x0 i lautet:
b̂|x0 i = x0 |x0 i
(15)
a) Zeige, dass die Entwicklung von |x0 i nach den Energieeigenzuständen des Oszillators
∞
X
†
xn
√ 0 |ni = N ex0 b |0i
(16)
|x0 i = N
n!
n=0
lautet. Berechne die Normierungskonstante N. Gib einen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit |x0 i im Zustand |ni anzutreffen an.
b) Berechne aus den Erwartungswerten hx0 |Ô|x0 i , Ô ∈ {x̂, p̂, x̂2 , p̂2 } das Unschärfeprodukt ∆x∆p. Dazu drücke man zunächst die verschiedenen Operatoren durch
b̂† , b̂ aus.
Tipp: Mit Aufgabe 1 von Zettel 2 zeige man zunächst, dass
†
†
[a, ex0 b ] = x0 ex0 b
(17)
gilt.
Erinnerung: (∆x)2 =< x2 > − < x >2
Aufgabe 3 : Energiedarstellung des eindimensionalen harmonischen Oszillators
4 Punkte
Gebe die Matrixdarstellung der Operatoren b̂, bˆ† , p̂, und x̂ bezüglich des Orthonormalsystems der Eigenzustände |ni des harmonischen Oszilators an, d.h. berechne das
Skalarprodukt zwischen |mi und b̂|ni usw. für beliebige m und n. Berechne durch
Matrixmultiplikation die entsprechenden Darstellungen für x̂2 , p̂2 und schließlich für
den Hamiltonoperator Ĥ = 21 (mω 2 x̂2 + p̂2 /m).
3