Elementare Zahlentheorie — SS 2002
Werbung
Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Wallisser 11.06.2002 Übungen zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie — SS 2002 Blatt 8 Abgabe: Dienstag, 18.06.02, 9.00 Uhr, vor der Vorlesung Aufgabe 1. a) Für die für Re s > 1 erklärte Riemannsche Zetafunktion ζ(s) = X 1 zeige man: ns n=1 i) 1 = ζ(s) ∞ X n=1 µ(n) , Re s > 1. ns ∞ ζ(s − 1) X ϕ(n) , Re s > 1. ii) = ζ(s) ns n=1 b) Man beweise, daß die für |x| < 1 konvergente Lambertsche Reihe ∞ X n=1 x rationale Funktion darstellt. (1 − x)2 ϕ(n) xn die 1 − xn Aufgabe 2. Man zeige: a) Die Mersenneschen Zahlen 2p − 1, p ∈ P sind paarweise zueinander teilerfremd. n b) Die Fermatschen Zahlen Fn = 22 + 1, n ∈ N sind paarweise zueinander teilerfremd. c) Kann man aus a) oder b) schließen, daß es unendlich viele Primzahlen gibt? Aufgabe 3. Man zeige: n−1 a) für die n–te Primzahl gilt pn ≤ 22 . b) π(x) := |p ∈ P p ≤ x| ≥ logloglog2 x , x ≥ e. Aufgabe 4. a) Man zeige: Für alle n ∈ N gilt n X 1 X 1 ≤ exp 2 · . ν p p∈P ν=1 p≤n b) Benutze a) um die Divergenz von P p∈P 1 p zu zeigen.
