Numerik Partieller Differentialgleichungen II

Institut für Numerische und Angewandte Mathematik
FB Mathematik und Informatik der Universität Münster
Prof. Dr. M. Ohlberger
Dr. Christoph Lehrenfeld
26.05.2016
Übung zur Vorlesung
Numerik Partieller Differentialgleichungen II
SS 2016 — Blatt 6
Abgabe: 02.06.2016, vor der Vorlesung
Aufgabe 1
Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Zeige, dass BV ([−1, 1]) 6⊂ H 1,p (] − 1, 1[) ist.
(4 Punkte)
Aufgabe 2
(4 Punkte)
Sei (X, d) ein metrischer Raum, K ⊂ X eine kompakte Teilmenge und (xn )n∈N ⊂ K eine
Folge. Weiter sei E eine Eigenschaft, sodass höchstens ein Element x ∈ X existiert, das
die Eigenschaft E hat.
Zeige: Besitzt der Grenzwert jeder konvergenten Teilfolge von (xn )n∈N die Eigenschaft E,
so konvergiert die ganze Folge (xn )n∈N gegen ein x ∈ X, das die Eigenschaft E besitzt.
Aufgabe 3
Betrachte die Erhaltungsgleichung
∂t u + ∂x f (u) = 0 in
u(·, 0) = u0 in
(4 Punkte)
R×]0, ∞[,
R.
(1)
Sei (um )m∈N eine Folge von numerischen Lösungen aus einem Verfahren in Erhaltungsform
= λ > 0 und hm → 0 für m → ∞. Das Verfahren
zu ∆t = km und ∆x = hm mit hkm
m
sei konsistent mit der Entropiebedingung, d.h. für jedes Entropiepaar (U, F ) existiert ein
numerischer Entropiefluss G, der mit F konsistent ist und es gilt:
U (un+1
) ≤ U (unj ) − λ[G(unj , unj+1 ) − G(unj−1 , unj )].
j
Ferner gelte:
m→∞
sup kum k∞ ≤ K und um −→ u
N
m∈
Zeige, dass u die Entropielösung von (1) ist.
Aufgabe 4
Sei u die Entropielösung von
(4 Punkte)
R
∂t u + ∂x f (u) = 0
(2)
R
zu den Anfangsdaten u0 ∈ BV ( ) ∩ L1 ( ) und sei u die Entropielösung von (1). Zeige:
Für fast alle t > 0 ist u(·, t) ∈ BV ( ) und es gilt
R
T VR (u(·, t)) ≤ T VR (u0 ).
R
Verwende (ohne Beweis) die folgende Aussage: Sind v, w ∈ L1 ( ×]0, ∞[) Entropielösungen von (2) zu den Anfangsdaten v0 , w0 ∈ L1 ( ) ∩ L∞ ( ), so gilt für fast alle t > 0:
Z
Z
|v(x, t) − w(x, t)| dx ≤
|v0 (x) − w0 (x)| dx.
R
R
R
R