4.¨Ubungsblatt zur Vorlesung TP3

4. Übungsblatt zur Vorlesung TP3 - Quantenmechanik
Prof. Dr. A. Klümper; WS 2010/2011
Abgabe:
(Postfach Nawrath, D, Ebene 10)
Besprechung:
09.11.2010 vor der Vorlesung
11.11.2010
Aufgabe 1 : Stationäre Zustände im eindimensionalen Potentialtopf
10 Punkte
Wir betrachten die Schrödinger-Gleichung
~2 ∂ 2
+ V (x) Ψ(t, x)
i ~ ∂t Ψ(t, x) = −
2m ∂x2
in einer Raumdimension. V (x) sei ein Kastenpotential:
0 falls |x| < a
V (x) =
mit V0 > 0.
V0 falls |x| ≥ a
(1)
(2)
Es sollen nun mit Hilfe des Ansatzes
i
Ψ(t, x) = e− ~ Et ϕ(x),
E ∈ R
(3)
stationäre Lösungen der Gleichung (1) bestimmt werden.
Dazu muss ϕ(x) überall
R
stetig differenzierbar und quadratintegrabel sein – d.h. |ϕ(x)|2 dx < ∞.
a) Zeige, dass unter diesen Voraussetzungen 0 < E < V0 sein muss, sowie, dass
0
1p
Aek x falls x ≤ −a
2m(V0 − E), A, B ∈ C
ϕ(x) =
mit k 0 =
−k0 x
~
Be
falls x ≥ a
(4)
gelten muss, damit eine solche normierbare Lösung existiert.
b) Zeige, dass für |x| < a gilt:
ϕ(x) = C cos(kx) + D sin(kx) , mit k =
1√
2mE, C, D ∈ C
~
(5)
c) Wir betrachten nun eine Lösung mit D = 0. Zeige, dass aus der Forderung nach
überall stetig differenzierbarem ϕ(x) folgt, dass:
ka
k0
mit tan(ka) =
>0
(6)
A = B , sowie cos(ka) = ±
γ
k
wobei
r
p
γ := a (k 2 + k 02 ) =
2mV0 a2
~2
(7)
1
d) Löse Gl. (6) grafisch z.B. für γ = 9π
4 . Es sollte sich zeigen, dass nur für diskrete
Werte von E (bzw. k) Lösungen existieren. Zeige, dass es nur endlich viele Lösungen
(aber für beliebige γ mindestens eine Lösung!) gibt.
e) Betrachte den sehr ähnlichen Fall, bei dem C = 0 gesetzt ist. Zeige, dass dann aus
der Forderung, dass ϕ(x) überall (insbesondere bei |x| = a) stetig differenzierbar
ist, folgt:
ka
k
(8)
A = −B , sin(ka) = ±
mit tan(ka) = − 0 < 0
γ
k
f) Löse auch Gl. (8) grafisch. Zeige, dass es wiederum höchstens nur endlich viele
Lösungen gibt. Für welche Werte von γ gibt es überhaupt keine Lösung mit C = 0 ?
g) Skizziere die normierbaren Wellenfunktionen aus c) - f).
Aufgabe 2 : Harmonischer Oszillator
10 Punkte
Der Harmonische Oszillator wird beschrieben durch den Hamiltonoperator
H=
p2
m 2 2
+
ω x
2m
2
(9)
Anstatt diese Differentialgleichung zu lösen, sollen die Energieeigenwerte und die Eigenfunktionen mit Hilfe von Operatorrelationen bestimmt werden. Es sei der Operator b
gegeben durch
1
p
h0 x + i
(10)
b := √
~h0
2
wobei h0 eine reelle Konstante sein soll.
a) Zeige [b, b† ] = 1.
b) Zeige, dass mit n̂ := b† b bei geschickter Wahl von h0 ( welcher? ) gilt
1
H = ~ω n̂ +
2
(11)
c) Die Operatoren b, b† ( und damit auch n ) wirken auf Zustände im Hilbertraum H.
Sei ϕν ∈ H Eigenfunktion von n zum Eigenwert ν, d.h.
n̂ ϕν = ν ϕν
(12)
Zeige, dass immer gilt ν ≥ 0.
Tipp : Benutze, dass es auf H ein positiv definites Skalarprodukt gibt.
d) Zeige, dass
(b† )n ϕν ∝ ϕν+n
(13)
bn ϕν ∝ ϕν−n
(14)
und
2
Tipp : Aufgabe 1 aus Übung 2 ist hier hilfreich.
Bemerkung : Aufgrund obiger Beziehungen werden b† bzw. b Aufsteiger bzw. Absteiger genannt.
e) Begründe, dass alle Eigenwerte von n̂ nicht negative ganze Zahlen sind.
Tipp : Es ist sinnvoll sich klar zu machen, dass bϕ0 = 0, um zu verstehen, warum
ganze Zahlen erlaubt sind, positive reelle allgemein aber nicht.
f) Verifiziere, dass für normierte ϕj gilt
b† ϕn =
√
und
bϕn =
n + 1 ϕn+1
√
n ϕn−1
(15)
(16)
Benutze dazu wieder das Skalarprodukt auf H.
g) Berechne ϕ0 und normiere es, so dass
Z
∞
1 = hϕ0 , ϕ0 i =
ϕ∗0 (x) ϕ0 (x) dx
−∞
Tipp : Die Gleichung bϕ0 = 0 ist eine explizit bekannte Differentialgleichung.
Alle weiteren Eigenfunktionen erhält man folgendermaßen :
ϕn
1
√ (b† )n ϕ0
n!
s
2 2
h0
−h0 x
√
H
(h
x)
exp
=
n 0
n
2
2 n! π
=
Dabei bezeichnen die Hn die Hermitepolynome.
3