Ubung 2 - TU Chemnitz

Technische Universität Chemnitz
19.10.2011
Einführung in die Diskrete Mathematik
Dr. Margarita Spirova
Übung 2
Aufgabe 1: Illustriere die folgenden Identitäten
(a)
(b)
n X
n
= 2n (Ü1, Aufgabe 2 (c)) und
k
n
k
=
n−1
k−1
+
n−1
k
,
k=0
(c)
n+1
k+1
n X
m
=
(Ü1, Aufgabe 1)
k
m=0
an dem Pascalischen Dreieck.
n
n
n
n
n
Aufgabe 2: Zeige
<
< ... <
=
> ... >
, wobei
0
1
⌊n/2⌋
⌈n/2⌉
n
für gerades n die beiden mittleren Koeffizienten zusammenfallen.
n X
n
n
Aufgabe 3: Zeige, dass für alle x, y ∈ C und n ∈ N (x + y) =
xk y n−k gilt (Binomik
k=0
alsatz).
Aufgabe 4: Sei fn,k die Anzahl der k-Untermengen von N , welche kein Paar aufeinanderfolgender Zahlen enthalten. Zeige, dass
X
n−k+1
(a) fn,k =
fn,k = Fn+2 ,
und (b)
k
k
wobei Fn die n-te Fibonacci Zahl ist (d.h. F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 ).
Aufgabe 5: Betrachte die Liste G(n) = {G1 , . . . , G2n } (für n = 1 sei G(1) = {0, 1}) der 0,1Wörter der Länge n. Dann ist G(n + 1) = {0G1 , 0G2 , . . . , 0G2n , 1G2n , 1G2n −1 , . . . , 1G1 }. Diese
Liste heißt Gray-Code. Zeige:
1. Je zwei benachbarte 0,1-Wörter in G(n) unterscheiden sich an genau einer Stelle.
2. Sei G(n, k) die Unterfolge von G(n) mit genau k Einsen. Dann unterscheiden sich aufeinanderfolgende Wörter in G(n, k) in genau zwei Stellen.