Zur Quantenmechanischen Beschreibung des Streuvorganges

Zur Quantenmechanischen Beschreibung des Streuvorganges
Latex/etIV/Streuung e2
020601
Diskrete Teilchenbahnen sind quantenmechanisch nicht beschreibbar: für
gegebenes Streupotential können aber Wahrscheinlichkeitsaussagen über die
Ablenkungsrichtung der gestreuten Teilchen gemacht werden. Weg: Lösung der
Schrödingergleichung mit entsprechender Randbedingung. Das Quadrat des Be2
trages der Wellenfunktion: |ψ(~r)| ist dann ein Maß für die Wahrscheinlichkeit,
das Teilchen in ~r zu beobachten.
Die stationäre Schrödingergleichung lautet:
Hψ = Eψ Dabei ist H der Hamiltonoperator, d.h. die Hamiltonfunktion
p2
+ V (~r), wobei in der Ortsdarstellung der Impuls p~ durch den Operator
H = 2m
2
2~ 2
~
−ih∇ zu ersetzten ist, E = p = h k ist die Energie des Systems mit p = h =
hk
λ
nach deBroglie. (k =
2m
2m
2π
λ ). Setzt man
λ
ferner
2
r ), so lautet die stationäre Schrödingergleichung dann: (∆ + k )ψ = U (~r)ψ
U (~r) = 2m
h2 v(~
Randbedingung für das Streuproblem (keine ϕ− Abhängigkeit angenommen):
eikr
lim ψ(~r) = |{z}
eikz + f (ϑ)
r→∞
| {z r }
ψ ein
ψ aus
mit ψ ein ... ebene Welle in z-Richtung,
ψ aus ...vom Streuzentrum (~r = 0) auslaufende Kugelwelle mit der ϑ−abhängigen
Amplitude f (ϑ) ”Streuamplitude”. Die Energie des Systems (genauer: der
Betrag des Impulses) steckt also in der Wellenzahl k, das Potential bestimmt
die Streuamplitude.
∞
P
[Lösung der Gl. ergibt die allgemeine Form: f (ϑ) =
a(l, k)Pl (cos ϑ)
l=0
mit komplexen a(l,k), das Potential bestimmt die Phasen dieser Partialwellen
...ähnlich zur Fourieranalyse! In diesen ”Streuphasen” steckt also letztlich die
Wirkung des Potentials! Pl (cos ϑ)...Legendrepolynome, beschreiben die Beiträge
der einzelnen Drehimpulse l.
N.B. Für V (r) = Coulomb-Potential ergibt sich aus dem obingen Ansatz
schliesslich die
Rutherfordsche Streuformel, s.u.]
Also: Die Streuamplitude f (ϑ) wird (bei gegebener Energie des Systems) durch das Potential bestimmt.
Nächste Frage: wie hängt die Streuamplitude mit der experimentell bestimmbaren Größe des Wirkungsquerschnitts zusammen?
Für den differentiellen Wirkungsquerschnitt gilt:
dJaus (dΩ)
in Raumwinkel dΩ
, wobei dJaus (dΩ) = Teilchendσ = Teilchenstrom
einlaufende Teilchenstromdichte =
jein
1
strom durch Fläche dA = r 2 dΩ
l Teilchenzahl in dV = v r 2 dΩ
Weiters gilt für die Teilchenstromdichte:
j(r) = n∗ (~r) v
(1)
2
Es war |ψ(~r)| l Wahrscheinlichkeitsdichte, Normierung hier so gewählt,
2
R
dn
∗
∗
2
dass |ψ(~r)| dV = 1, =⇒ n̄ |ψ(~r)| = dV = n (~r) (2) , wobei n̄∗ die gemitR
2
telte Teilchendichte ist, es gilt also: n̄∗ |ψ(~r)| dV = Ngesamt
Aus (1) und (2)
2
v = n̄∗ |ψ ein | v
=⇒
dJaus (dΩ) = n̄∗ |ψ aus (ϑ)|2 vr2 dΩ,
2
2 |ψ ein | =eikz = 1,
ikr 2
2 |ψ aus | =f (ϑ) e r =
damit wird weiter dσ =
dJaus (dΩ)
jein
=
dσ
dΩ
|f (ϑ)|2
r2 ,
n̄∗ |ψ aus (ϑ)|2 vr 2 dΩ
n̄∗ |ψ ein |2 v
z.B. für die Rutherford-Streuung ist V (r) =
Rechnung gemäß dem obigen Schema:
2
1 q2
= ( 4Eqsin
2 ϑ ) , mit dΩ = sin ϑdϑdϕ =⇒
2
2
jein = n∗ (~r)
e2
4πr ,
= |f (ϑ)|2 dΩ
=⇒
dσ
dΩ
damit folgt nach längerer
q1 q2 2
σ elm
tot = 2π( 4E )
Rπ
0
sin ϑdϑ
sin4 ϑ
2
=∞
= |f (ϑ)|
2