Ubungsblatt 2 - Uni Bielefeld

Übungsblatt 2
zur Vorlesung Physikalische Chemie IV (Spektroskopie)
ausgegeben am Freitag, den 02. Mai 2003
Abgabe der Übungszettel bis Donnerstag, den 08. Mai 2003
Termin: Montag 1015 –1145 in V2-200, Postfach 499 (D/E 3)
Aufgabe 4: Operatoren
Operatoren stellen Rechenvorschriften dar, die beliebige Funktionen verändern. Beispielsweise bedeutet
d
der Operator x multipliziere mit x und der Operator dx
leite nach x ab.
Als Eigenfunktion f eines Operators Ô sind die Funktionen definiert, die auf ein Vielfaches ihrer selbst
abgebildet werden.
Ô · f = E · f
(1)
E ist der Eigenwert der Funktion zum Operator Ô.
(a) Prüfe ob die jeweiligen Funktionen Eigenwerte zu den jeweiligen Operatoren sind und gib die
Eigenwerte an.
d
dx
d2
Ô = 2
dx
Ô =
, f = ex
(2)
, f = sin(ax)
(3)
(b) Bestimme a und b so, daß f zur Eigenfunktion von Ô wird.
Ô =
d2
1
2 d
+ , f = a · ebx
+ ·
2
dx
x dx x
(4)
Aufgabe 5: Die Heisenberg’sche Unschärferelation.
In der Vorlesung wurde die Heisenbergsche Unschärferelation in der Form
∆x∆p ≥
h̄
2
(5)
verwendet. Ähnliche Relationen gelten für andere Variablenpaare, z.B. für den Drehimpuls und den Winkel, oder auch für Energie und Zeit. Um aus Gleichung 5 die Energie-Zeit Unschärfe herzuleiten, bestimmt
p2
man zunächst aus der Formel für die kinetische Energie eines Teilchens E = 2m
die Energieunschärfe
∆E. Mit Hilfe von v = ∆x
folgt
dann
direkt
die
gesuchte
Ungleichung
∆t
h̄
2
Versuche, diese Herleitung nachzuvollziehen. Welche Voraussetzungen darin sind fragwürdig?
∆E∆t ≥
(6)
Aufgabe 5: Anwendungen der Unschärferelation
Ein sehr effizientes Verfahren Moleküle nachzuweisen ist die sogenannte Fluoreszenzspektroskopie. Dazu
regt man zunächst Moleküle gezielt (z.B. mit einem Laser) aus dem Grundzustand X in einen angeregten
Zustand A an. Der angeregte Zustand A kann nach einiger Zeit (typischerweise im Bereich einer Nanosekunde) wieder unter Abgabe von Photonen zerfallen; diese Photonen werden dann mit geeigneten Geräten
nachgewiesen. Durch die endliche Lebensdauer der angeregten Zustände hat die Fluoreszensstrahlung nun
eine gewisse Linienbreite, die man experimentell bestimmen kann.
(a) Das für Verbrennungsprozesse besonders wichtige OH-Radikal wird mit einem Laser angeregt
(A2 Σ(v = 1) ← X 2 Π(v = 0) Übergang − die genaue spektroskopische Notation ist an dieser
Stelle nicht wichtig) und sendet Fluoreszenzlicht der Wellenlänge 282.68 nm aus. Die Lebensdauer
des angeregten Zustandes beträgt τ1 = 3.1 ns. Wie groß ist demnach die Linienbreite ∆λ1 (setze
dazu τ = ∆t)?
Für dieses (und ähnliche) Probleme ist es besonders günstig, die Linienbreite statt in ∆λ in einer
Energieeinheit ∆E anzugeben. Warum?
In der Spektroskopie ist besonders die Energieeinheit ν̃ gemessen in cm−1 gebräuchlich. Wie ist die
Umrechnung in Joule? Gib Deine berechnete Linienbreite auch in dieser Einheit an.
(b) Eine andere Arbeitsgruppe untersuchte OH bei einer etwas anderen Wellenlänge (248 nm, Übergang A2 Σ(v = 3) ← X 2 Π(v = 0) − das ist der gleiche elektronische Zustand, er ist nur stärker
vibrationsangeregt). Man mißt experimentell eine Linienbreite von 0.06 cm−1 . Welcher Lebensdauer
entspricht das? Was könnte passiert sein?
(c) Wenn man den Druck eines Gases erhöht, werden auch die Fluoreszenzlinien spektral breiter.
Warum?
Aufgabe 7: Einfache Potentiale
Die Schrödinger-Gleichung läßt sich leicht lösen, wenn die Potentialfunktion V abschnittsweise konstant
ist.
(a) Stelle die Schrödinger-Gleichung für ein konstantes Potential V > 0 auf und diskutiere anhand der
Gleichung das Verhalten der Wellenfunktion für Teilchenenergien E > V , E = V , E < V . Was ist
klassisch in diesen Fällen zu erwarten?
In jedem Gebiet j, in dem das Potential einen konstanten Wert hat, ist die Funktion (7) die
allgemeine Lösung der Schrödingergleichung.
ψj (x) = Aj · exp[i · kj · x] + Bj · exp[−i · kj · x]
(7)
(b) Ein einfaches Potential ist das eindimensionale Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden.
(
V (x) =
V0
0
für
−a
2
≤x≤
a
2
mit
sonst
E > V0 = const.
(8)
Löse die zeitunabhängige Schrödingergleichung für dieses Potential. Wie ist zu erklären, daß nur
bestimmte Energiewerte En realisiert werden können? Kann man dieses Ergebnis auch erhalten,
indem man nur die de Broglie-Beziehung verwendet?
(c) Der eindimensionale Potentialwall ist ein einfaches Beispiel für eine Potentialbarriere.
(
V (x) =
V0
0
für
−a≤x≤a
mit
sonst
0 < V0 = const.
(9)
Stelle V(x) graphisch dar, teile den x-Bereich physikalisch sinnvoll in drei Gebiete ein und stelle
für jeden Abschnitt die Schrödinger-Gleichung auf. Bestimme die Konstanten Aj , Bj und kj in der
allgemeinen Lösung soweit wie möglich für alle Bereiche von j. Wovon hängt die Wahrscheinlichkeit
ab, daß ein Teilchen den Potentialwall durchtunnelt?