Quantenmechanik SS 2008 (Hausübung 2) (abzugeben am

Quantenmechanik
SS 2008 (Hausübung 2)
(abzugeben am Dienstag den 22.04.2008)
1. Gaußfunktion (3 Punkte)
Gegeben sei eine Gaußverteilung
(k−k0 )2
Ψ0
e
Ψ(k)
= √ e− 2a2 .
a 2π
e
(a) Welche Form nimmt die Funktion Ψ(k)
im Grenzfall a → 0 an?
(b) Zeigen
Sie,
dass
die
fouriertransformierte
Gaußverteilung
³
´
R
e
Ψ(x) = √12π dk eikx Ψ(k)
ebenfalls eine Gaußfunktion ist.
(c) Bestimmen Sie die Breiten der Verteilungen ∆x und ∆k und überprüfen Sie
die Relation ∆x · ∆k ≥ 1.
2. Wellenpaket des Lichtes (8 Punkte)
Die Wellengleichung für Lichtwellen ¤u = 0 hat als allgemeine Lösung
Z+∞
dk u
e(k) ei(kx−ω(k)t) , mit ω(k) = ck.
u(x, t) =
−∞
Verwenden Sie ein Gaußsches Wellenpaket u
e(k) =
u0
√
a 2π
e−
(k−k0 )2
2a2
, d.h. eine k-
Verteilung mit Breite ∆k = a. Berechnen Sie u(x, t) und geben Sie die Phasenund Gruppengeschwindigkeit des Wellenpaketes an. Was ist die Breite ∆x des
Wellenpaketes? Erläutern Sie das Verhalten des Paketes für große Zeiten t und
vergleichen Sie die Ergebnisse mit den Berechnungen des Wellenpaketes für Elektronen (Vorlesung).
3. Teilchen im elektromagnetischen Feld (insg. 9 Punkte)
Für ein Teilchen mit der elektrischen Ladung q in einem externen elektroma~ r, t) gilt die Schrödingergleichung
gnetischen Feld mit Potentialen Φ(~r, t) und A(~
µ
¶
1 ~ˆ 2
P + qΦ ψ = i~ ∂t ψ,
2m
(1)
ˆ
~ − qA
~ der Impulsoperator des kanonischen Impulses ist.
wobei P~ = −i~∇
(a) Lokale Eichinvarianz (3 Punkte)
Zeigen Sie, dass für eine Eichtransformation der Potentiale
~→A
~0 = A
~ + ∇χ(~
~ r, t),
φ → φ0 = φ − ∂t χ(~r, t) und A
eine Umeichung der Wellenfunktion
q
ψ(~r, t) → ψ 0 (~r, t) = ψ(~r, t) ei ~ χ(~r,t)
notwendig ist, damit die Schrödingergleichung Ĥ 0 ψ 0 = i~∂t ψ 0 erfüllt ist.
Hinweis: Starten Sie von der gestrichenen” Schrödingergleichung und zeigen Sie,
”
dass diese äquivalent zur ursprünglichen Schrödingergleichung Ĥψ = i~∂t ψ ist.
ˆ
ˆ
Die Größe P~ 02 ψ 0 berechnet man durch sukzessives, zweimaliges Anwenden von P~ 0
~ ·A
~ 6= 0 gilt!
auf ψ 0 . Beachten Sie dabei, dass im Allgemeinen ∇
(b) Kontinuitätsgleichung (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass für Lösungen ψ der Schrödingergleichung des Elektrons
im elektromagnetischen Feld (1) ebenfalls die Kontinuitätsgleichung gilt,
nämlich
´
1 ³ ∗ ~ˆ
ˆ ∗
~
~
~
~
∂t |ψ| + ∇ · J = 0 mit J =
ψ P ψ + ψ(P ψ) .
2m
2
ˆ
~ − qA
~ der Operator des kanonischen
Beachten Sie, dass hier P~ = −i~∇
Impulses ist.
(c) Eichverhalten des Wahrscheinlichkeitsstroms (2 Punkte)
Zeigen Sie, dass der Wahrscheinlichkeitsstrom J~ unter Eichtransformation
invariant ist.