HA 5 1. Harmonischer Oszillator Die Wellenfunktionen für den

HA 5
1. Harmonischer Oszillator
Die Wellenfunktionen für den eindimensionalen harmonischen Oszillator können mit dem Operator ↠aus dem Grundzustand ψ0 (x) erzeugt
werden.
• Benutzen Sie die explizite Form der Wellenfunktionen, die Rekursionsformel für Hermite-Polynome und die Definition der Operatoren â und ↠um zu zeigen, dass
√
âψn = nψn−1
und
↠ψn =
√
n + 1ψn+1 .
• Berechnen Sie die ersten drei angeregten Zustände ψ1 (x), ψ2 (x)
und ψ3 (x). Es gilt
1
ψn (x) = √ (↠)n ψ0 (ξ) ,
n!
ψ0 (ξ) =
1
π 1/4
e−ξ
2 /2
2. Dreidimensionaler harmonischer Oszillator
Wenn die Frequenzen ωx , ωy und ωz keine Vielfachen voneinander darstellen, ist das Energiespektrum eines dreidimensionalen Oszillators
nicht entartet, sonst tritt die Entartung auf.
• Betrachten Sie nun die Situation wenn ωx = ωy = ωz = ω. In
diesem Fall gilt
3
E = h̄ω n +
2
mit n = nx + ny + nz . Der Zustand mit der ”Hauptquantenzahl”
n ist jetzt entartet. Der Grad der Entartung entspricht der Zahl
der Möglichkeiten, die Zahl n als Summe von nx , ny und nz zu
erhalten. Bestimmen Sie diesen.
• Lösen Sie das gleiche Problem für den Fall ωx = ωy = ω, ωz = 2ω.
3.
∗
Eichtransformation der Schrödingergleichung
Ein Teilchen der Masse m und der elektrischen Ladung e befindet sich in
einem magnetischen Feld mit Vektorpotential A. Aus Wechselwirkung
mit dem Feld entsteht zusätzlicher Impulsbeitrag pm = −eA/c mit c
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Warum? Die potenzielle Energie der
Teilchen lautet Vg (x) = eΦ(x) mit elektrischem Potential Φ(x).
Der Hamiltonoperator ist gegeben durch
h̄2 2
eh̄
e2
Ĥ = −
∇ + i (A∇ + ∇A) +
A2 + eΦ.
2
2m
mc
2mc
Wie kommt man an diese Form?
(a) Eine Eichtransformation
A′ (x, t) = A(x, t) + ∇χ(x, t),
Φ′ (x, t) = Φ(x, t) −
1∂
χ(x, t)
c ∂t
läßt das magnetische und elektrische Feld invariant. Wie verändert
diese Eichung die Wellenfunktion des Teilchens? Wieso ist es sinnvoll, die neue Wellenfunktion Ψ′ (x, t), die die Eichung berücksichtigt, mit Ψ′ (x, t) = eiα Ψ(x, t) anzusetzen?
(b) Zeigen Sie, dass nach Anwendung der Eichtransformation für den
neuen Hamiltonoperator H′ gilt
e−iα H′ Ψ′ = HΨ −
e ∂χ
Ψ
c ∂t
Wie muss dafür α = α(χ) gewählt werden?
(c) Zeigen Sie Invarianz der zeitabhängigen Schrödingergleichung gegenüber der Eichtransformation.