Harmonischer Oszillator und 3d-Schrödingergleichung - TUM

Harmonischer Oszillator und
3d-Schrödingergleichung
Tutoren:
Jinming Lu, Konrad Schönleber
17.02.09
1
1D-Harmonischer Oszillator
Für die Entwicklung der Quantenmechanik spielte der harmonische Oszillator
eine herausragende Rolle. Dieses spezielle Problem begegnet einem aus diesem
Grund in praktisch allen Bereichen der Physik wieder, das Konzept von Photonen und Phononen z.B. lässt sich auf gekoppelte harmonische Oszillatoren
zurückführen, und es lohnt sich es genau zu verstehen. Weiterhin sind viele der
Rechenmethoden typisch für quantenmechanische Rechnungen.
Wir wollen den harmonischen Oszillator in dieser Vorlesung auf zwei Arten betrachten, einmal über die Wellenfunktion (Ψ(x)) und einmal abstrakt (|Ψi).
Wir werden den harmonischen Oszillator hier zunächst in einer Dimension untersuchen.
1.1
Betrachtung über Ψ(x)
Nach dem Korrespondenzprinzip setzen wir nun zunächst wie im klassischen
Fall auch:
p2
1
h̄2 2 1 2
H=
+ kx2
=
−
∂ + kx
|{z}
2m 2
2m x 2
Korrespondenz
Wir setzen nun als erstes die Eigenfrequenz ω =
kannt aus dem klassischen Fall) und erhalten:
H=−
q
k
m
des Oszillators ein (be-
h̄2 2 1
∂ + mω 2 x2
2m x 2
Wir versuchen nun die Gleichung mit dimensionslosen Variablen zu schreiben,
um die weitere Rechnung zu vereinfachen. Dazu setzen wir:
r
2E
mω
:=
und y :=
x
h̄ω
h̄
Damit erhält die Schrödingergleichung eine einfachere Form:
∂y2 Ψ(y) + ( − y 2 )Ψ(y) = 0
Diese Gleichung hat zwar eine recht einfache Gestalt, die Lösung ist trotzdem nicht ohne weiteres abzulesen. Wir verwenden nun einen Trick, indem wir
1
zunächst das asymtotische Verhalten für y 2 → ∞ untersuchen und damit Informationen über die Struktur der Lösungen erhalten.
Im asymptotischen Fall ist der Term mit vernachlässigbar und wir erhalten:
∂y2 Ψas (y) = y 2 Ψas (y)
Wir setzen mit einer Exponentialfunktion an und nutzen ein weiteres mal
y 2 → ∞ aus:
Ψas (y) = ef (y) ⇒ ∂y2 Ψas (y) = ef (y) f 00 (y) + (f 0 (y))2 ef (y)
Ist f (y) nun ein beliebiges Polynom, so kann der Term ef (y) f 00 (y) vernachlässigt
werden, da f 00 (y) kleineren Grades als (f 0 (y))2 ist. Man erkennt nun in unserem
Fall:
1
f (y) = ± x2
2
Wegen der Quadratintegrierbarkeit von Ψ(y) ist das negative Vorzeichen das
einzig physikalisch sinnvolle.
Um nun von der asymptotischen Lösung auf die eigentliche Lösung zu kommen wählen wir den Ansatz:
Ψ(y) = H(y)Ψas (y)
und erhalten somit:
∂y2 H(y) − 2y∂y H(y) + ( − 1)H(y) = 0
Diese Gleichung lösen wir nun mit einem Potenzreihenansatz:
H(y) =
∞
X
am y m
m=0
Mit diesem Ansatz erhalten wir für die geraden und die ungeraden Koeffizienten
folgende Rekursionsformel:
am+2 =
2m − + 1
(m + 1)(m + 2)
Man kann nun zeigen (etwas länglich), dass das asymptotische Verhalten von
Ψ(y) nur gewährleistet ist, wenn die Reihe irgendwo bei einem m = N abbricht.
Dies ist gewährleistet mit = 2N + 1, also:
1
1
h̄ω = h̄ω(N + )
2
2
Die Zustandseigenfunktionen sind entweder gerade oder ungerade (dies folgt aus
der symmetrie des Hamiltonoperators) und haben die Gestalt:
E=
1
Ψg,N (y) = a0 e− 2 y
2
N
X
(−2)m
m=0
1
Ψu,N (y) = a1 e− 2 y
2
N
X
(−2)m
m=0
N !!
y 2m
(2m)!!(2m)!
(N − 1)!!
y 2m+1
(2m)!!(2m + 1)!
Die Werte für a0 und a1 ergeben sich aus der Normierungsbedingung.
√
1
a0 = π − 4 und a1 = 2a0
2
1.2
Betrachtung über |Ψi
In diesem Abschnitt sind wir nicht mehr an der (komplizierten) Gestalt der Eigenzustände im Ortsraum interessiert, sondern wollen Koordinatenunabhängige
Aussagen über das System machen.
Wir beginnen wieder mit dem Hamiltonoperator:
2
b = pb + 1 mω 2 x
b2
H
2m 2
Wir schreiben nun den Hamiltonoperator unter Beachtung von [b
p, x
b] = −ih̄ um
in (Übung):
r
r
1
mω
pb
mω
pb
b
H = h̄ω + ω
x
b − i√
x
b + i√
2
2
2
2mω
2mω
|
{z
}|
{z
}
b†
b
=:A
=:A
b den Abwärtsoperator und A
b† den Aufwärtsoperator. Diese BeWir nennen A
zeichnungen werden im folgenden noch klarer.
Berechnung von Kommutatoren (das lohnt sich oft) ergibt (Übung):
b† , A]
b = −h̄
[A
b A]
b = −h̄ω A
b
[H,
b A
b† ] = h̄ω A
b†
[H,
b E i = E|ΨE i erahlten
Mit diesen Ergebnissen und der Eigenwertgleichung H|Ψ
wir:
b A|Ψ
b E i = (E − h̄ω)A|Ψ
b E i = (E − h̄ω)c|ΨE−h̄ω i
H
bA
b† |ΨE i = (E − h̄ω)A
b† |ΨE i = (E + h̄ω)d|ΨE+h̄ω i
H
b und A
b† Eigenzustände zum Energieeigenwert E von H
b
Wir sehen also, dass A
b
in andere Eigenzustände zur Energieeigenwert E ∓ h̄ω von H überführen.
b und A
b† .
Dies rechtfertigt nun auch die Bennenung von A
Da nun der Hamiltonoperator in seiner ursprünglichen Schreibweise nur die
Operatoren pb2 und x
b2 enthält, sind alle seine Eigenwerte nicht negativ. Da nun
der Absteigeoperator den Eigenwert immer um einen konstanten Wert verringert, gibt es einen Zustand minimaler Energie, den Grundzustand, den wir mit
|0i bezeichnen wollen und für den gilt:
b =0
A|0i
Wobei hier 0 den Nullvektor des Hilbertraumes bezeichnet.
Es folgt nun sofort:
1
1
b
b† A)|0i
b
H|0i
= ( h̄ω + ω A
= h̄ω|0i
2
2
b†
Alle weiteren Energieeigenzustände finden wir über den Aufwärtsoperator A
b† durch:
und nummerieren sie entsprechend der Anzahl der Anwendungen von A
b
bA
b†n |0i = h̄ω(n + 1 )|ni
H|ni
= Cn H
2
3
mit Normierungskonstanten (ohne Herleitung) Cn =
1
.
(n!h̄n )1/2
Es war mit dieser Methode nicht nötig irgendeine Differentialgleichung zu lösen.
Wir erhalten zwar nicht die konkrete Gestalt der Energieeigenzustände, erkennen aber dasselbe Energiespektrum und haben eine alternative Schreibweise für
die Eigenzustände:
!n
b†
1
A
√
|0i
|ni = √
n!
h̄
Wir können nun noch folgende Terme angeben:
!n
b†
p
1
A
†
b† |0i = (n + 1)h̄|n + 1i
√
A |ni = √
A
n!
h̄
und mit AA† = A† A + [A, A† ] = A† A + h̄:
A|ni = √
2
√
n
c† |0i = √nh̄ A† n−1 |0i = nh̄|n − 1i
bA
A
n!h̄n
n!h̄n
1
3D-Schrödingergleichung
Es ist unmittelbar klar, dass die überwiegende Anzahl physikalischer Systeme
3 Dimensionen besitzt. Aus diesem Grund wollen wir uns nun etwas näher der
Schrödingergleichung in 3 Dimensionen zuwenden.
Diese hat die Gestalt:
h̄2
∆~r + V (~r) Ψ(~r, t)
ih̄∂t Ψ(~r, t) = −
2m
Im stationären Fall bedeutet dies:
h̄2
EΨ(~r) = −
∆~r + V (~r) Ψ(~r)
2m
Speziell bei radialsymmetrischen Problemen, also im Fall V (~r) → V (r), (HAtom, Zweiteilchenwechselwirkung, etc.) bietet es sich an Kugelkoordinaten zu
verwenden.
Der Laplaceoperator hat in Kugelkoordinaten die folgende Form:
∆~r =
1
1
1
1
∂θ (sin(θ)∂θ ) + 2 2 ∂φ2 =: ∆r + 2 ∆θ,φ
∂r r2 ∂r + 2
r2
r sin(θ)
r sin (θ)
r
Wir setzen nun mit einem Separationsansatz an:
Ψ(~r) = R(r)Y (θ, φ)
Damit erhalten wir in der stationären Schrödingergleichung:
h̄2
R(r)
ER(r)Y (θ, φ) = −
Y (θ, φ)∆r R(r) + 2 ∆θ,φ Y (θ, φ) +V (r)R(r)Y (θ, φ)
2m
r
4
Multiplikation mit r2 /R(r)Y (θ, φ) liefert die gewünschte Variablenseparation
(Beachte: Dies ist nur für radialsymmetrische Potentiale der Fall):
h̄2 r2
1
h̄2
∆r R(r) + r2 (E − V (r)) = −
∆θ,φ Y (θ, φ)
2m R(r)
2m Y (θ, φ)
Nun ist die rechte Seite unabhängig von r und die linke Seite von θ und φ.
2.1
Einschub: Kugelflächenfunktionen
Um die Winkelabhängigkeit der Wellenfunktionen, die durch die 3D-Schrödingergleichung
gegeben sind, für radialsymmetrische Potentiale zu bestimmen, verwenden wir
die sog. Kugelflächenfunktionen.
Wir wollen uns nicht lange mit der Herleitung aufhalten, sondern lediglich motivieren wo sie ihre Anwendung finden.
Die Kugelflächenfunktionen sind tabelliert (und in Klausuren meist angegeben) und daher ist die Winkelabhängigkeit, wenn man weiß wo die Kugelflächenfunktionen einzusetzen sind, immer ein bereits gelöstes Problem.
Was wir wissen müssen, sind die folgenden Dinge:
1. Die Kugelfächenfunktionen sind Eigenfunktionen der Differentialgleichung,
die dem Winkelanteil des Laplaceoperators zugrunde liegt.
∆θ,φ Ylm (θ, φ) = −l(l + 1)Ylm (θ, φ)
2. Der Parameter l ist eine naürliche Zahl und der Parameter m eine ganze Zahl
mit −l ≤ m ≤ l
Nur zur Information hier die Gestalt der Kugelfächenfunktionen (das muss man
nicht genau wissen):
s
2l + 1 (l − m)!
1
Plm (cos(θ))eimφ
Ylm (θ, φ) = √
2 (l + m)!
2
Mit den modifizierten Legendre-Polynomen:
Plm (cos(θ)) = (sin2 (θ))
|m|
2
|m|
· ∂cos(θ) Pl (cos(θ))
Hier nun noch die Angabe einiger Kugelfächenfunktionen:
r
1
Y00 =
4π
r
r
r
3
3
3
iφ
Y10 =
cos(θ) ; Y11 = −
sin(θ)e ; Y1,−1 =
sin(θ)e−iφ
4π
8π
8π
Auf die physikalische Bedeutung der Parameter l und m werden wir bei der
Diskussion der Drehimpulse in der morgigen Vorlesung eingehen.
5
2.2
Radiale Schrödingergleichung
Indem wir den Winkelanteil der Schrödingergleichung mit Hilfe der Kugelfächenfunktionen
elegant bewältigt haben, können wir uns nun der Gleichung für den Radialteil
zuwenden.
Es ergibt sich:
h̄2 r2
h̄2
1
∆r R(r) + r2 (E − V (r)) = −
∆θ,φ Y (θ, φ)
2m R(r)
2m Y (θ, φ)
{z
}
|
−l(l+1)
h̄2 r2
h̄2 l(l + 1)
=0
∆r R(r) + r2 E − V (r) −
2m R(r)
2mr2
h̄2
h̄2 l(l + 1)
⇔
R(r) = 0
∆r R(r) + E − V (r) −
2m
2mr2
⇒
2
l(l+1)
Es ist also durch die Winkelkoordinaten lediglich ein weiterer Term h̄ 2mr
hin2
zu gekommen.
Man kann diesen Term als eine modifikation des Potentials interpretieren und
spricht von der sogenannten Zentrifugalbarriere.
6