Theoretische Physik II: Quantenmechanik

Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
22.06.2017
Prof. Dr. Harald Engel
Benjamin Lingnau, Jan Totz, Maria Zeitz, Manuel Katzer, Willy Knorr
10. Übungsblatt – Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Abgabe: Bis Montag 03.07.2017 12:00 im Briefkasten am Hintereingang des ER-Gebäudes
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden sehr ausführliche Kommentare zum Vorgehen erwartet. Dafür gibt es auch Punkte! Bitte das Deckblatt von der Homepage verwenden! Die Abgabe
erfolgt in Dreiergruppen.
Auf diesem Blatt können maximal 25 Punkte erzielt werden. Fünf davon sind Bonuspunkte.
Aufgabe 24 (8 Punkte): Rabioszillationen
In der Vorlesung wurde das Zwei-Niveau-System mit Ankopplung von Elektronen an ein elektromagnetisches Feld eingeführt, das durch den folgenden Hamiltonoperator dargestellt werden
kann:
− ~ω2 0
−iµ · Ẽ cos(ωt)
Ĥ =
~ω0
iµ · Ẽ cos(ωt)
2
Dabei sind die Zustände durch
|Ψi = c0 (t)|0i + c1 (t)|1i
beschrieben, wobei |ci |2 jeweils die Besetzungswahrscheinlichkeiten des Grundzustandes bzw. des
angeregten Zustandes sind.
(a) Verifizieren Sie, dass für die resonante Anregung (ω = ω0 ) die Koeffizienten
1
1
c̃0 (t) = cos
θ(t)
und
c̃1 (t) = sin
θ(t)
2
2
Lösungen der gekoppelten Differentialgleichungen
d
µ · Ẽ(t)
c̃0 (t) = −
c̃1 (t)
dt
2~
und
d
µ · Ẽ(t)
c̃1 (t) =
c̃0 (t)
dt
2~
mit
µ · Ẽ(t) Ω̃(t) := ~ sind. Dabei seien c̃k = ck exp(∓i ω20 t) und
Z
t
θ(t) =
Ω̃(t0 ) dt0
−∞
die sogenannte Pulsfläche.
(b) Diskutieren Sie die Lösung ausführlich. In welchem Zustand befindet sich das System, wenn
die Pulsfläche θ gerade die Werte π2 , π und 2π annimmt?
(c) Bestimmen Sie für einen Puls der Form
(
Aπ
cos
Ω̃(t) = 2τ
0
πt
τ
für − τ /2 < t < τ /2
sonst
die analytische Lösung. Plotten Sie die Besetzungswahrscheinlichkeiten |c̃0 |2 und |c̃1 |2 im
Bereich von t = [−2.5 ps, 2.5 ps] für τ = 5 ps und A = 3π.
Bitte Rückseite beachten!−→
1
10. Übung SoSe17
Aufgabe 25 (9 Punkte): Bewegungsgleichungen im Heisenbergbild
Im Schrödinger-Bild sei ein Einteilchen-Hamiltonoperator in einer Dimension gegeben durch
Ĥ =
p̂2
+ V (x̂).
2m
(a) Zeigen Sie zunächst, dass für die fundamentalen Vertauschungsrelationen im HeisenbergBild [x̂H , p̂H ] = i~ und [x̂H , x̂H ] = [p̂H , p̂H ] = 0 gilt.
(b) Zeigen Sie, dass der Hamiltonoperator im Heisenbergbild durch
ĤH (t) =
1 2
p̂ + V (x̂H )
2m H
gegeben ist. Tipp: Stellen Sie als Zwischenschritt V (x) als Taylor-Reihe dar.
(c) Zeigen Sie, dass Orts- und Impulsoperator eines Teilchen im Heisenberg-Bild den “klassischen” Bewegungsgleichungen
d
1
x̂H = p̂H
dt
m
und
d
dV
p̂H = −
(x̂H )
dt
dx̂H
genügen.
2 2
(d) Betrachten Sie im Folgenden den harmonischen Oszillator mit dem Potential V (x̂) = m
2 ω x̂
und geben Sie die Differentialgleichung für x̂H an. Lösen Sie diese. Für t = 0 gelte: x̂H = x̂
und p̂H = p̂.
Aufgabe 26 (8 Punkte): Gestörter harmonischer Oszillator
Betrachten Sie den linearen anharmonischen Oszillator, dessen Hamiltonoperator durch Ĥ =
Ĥ0 + Ĥ1 mit
p̂2
1
Ĥ0 =
+ mω 2 x̂2 und Ĥ1 = εcx̂4
2m 2
und |ε| 1 gegeben sei.
(a) Drücken Sie den Hamiltonoperator durch die Leiteroperatoren â und ↠aus.
(1)
(1)
(b) Berechnen Sie die Energiekorrektur erster Ordnung En und geben Sie explizit E0
an.
(c) Berechnen Sie nun auch die zweite Energiekorrektur zur Grundzustandsenergie.
Hinweis: Die Summation erfolgt über alle ungestörten Eigenfunktionen von Ĥ0 . Begründen
Sie zunächst, warum die meisten Summanden keinen Beitrag zum Ergebnis leisten.
Vorlesung:
• Dienstag 8:30 Uhr – 10:00 Uhr im EW 202.
• Mittwoch 8:30 Uhr – 10:00 Uhr im EW 202.
Webseite:
• Details zur Vorlesung, Vorlesungsmitschrift und aktuelle Informationen sowie Sprechzeiten auf der TU Webseite unter
www.tu-berlin.de/?qm17
Scheinkriterien: •
Mindestens 50% der Übungspunkte.
• Bestandene Klausur.
Bemerkung: Bei den Übungsaufgaben werden nur Originalabgaben akzeptiert. Keine Kopien
oder elektronischen Abgaben. Bei Programmieraufgaben ist verwendeter Code ausgedruckt mit
abzugeben.
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