Übungsbeispiele zur Angewandten Quantenmechanik

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Magnetische Resonanz
• Ein Spin-1/2 Teilchen befindet sich im homogenen Magnetfeld in z-Richtung:
Ĥ0 =
eg
Bz Ŝz =: ω0 Ŝz
2m
(14)
Die Eigenzustände sind | ± zi mit den Eigenwerten Eσ = σ h̄ω2 0 mit σ = ±1.
• Wenn das System zur Zeit t = 0 im Zustand |ψi präpariert wird, ist es zur Zeit
t > 0 im Zustand
t
e−i h̄ Ĥ |ψi
Die Wahrscheinlichkeit, daß sich das System zur Zeit t im Eigenzustand |σi befindet
2 2 2
hσ|e−i h̄t Ĥ |ψi = e−i h̄t Eσ hσ|ψi = hσ|ψi
ist unabhängig von t.
• Um Übergänge zwischen den Niveaus zu erreichen, benötigt man einen t-abhängigen
Hamiltonoperator.
Ĥ0 =
eg
eg
Bz Ŝz +
Bx cos(ωt)Ŝx =: ω0 Ŝz + ω1 cos(ωt) Ŝx
2m
2m
Die zeitabhängigen Schrödingergleichung lautet
ih̄
∂
|ψ(t)i = Ĥ |ψ(t)i
∂t
Wir entwickeln den Zustand |ψ(t)i nach den Eigenzuständen |σi von Ŝz .
X
|ψ(t)i =
Cσ (t) |σi.
σ
Die Schrödingergleichung geht über in
1
∂ C+ (t)
ω0
ω1 cos(ωt)
C+ (t)
i
=
−ω0
C− (t)
∂t C− (t)
2 ω1 cos(ωt)
.
• Lösen Sie diese DGl numerisch mit NDSolve
– Plotten Sie |hσ|ψ(t)i|2
diese Größe oszilliert mit der sogenannten Rabi-Frequenz Ω.
– Bestimmen Sie die Abhängigkeit der Rabi-Frequenz von ω, ω0 und ω1 .
– Plotten Sie die Amplitude der Oszillation als Funktion von ω.
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