Blatt 10

Theoretische Physik I
Fachbereich Physik
Prof. Dr. R. Schtzhold
Dr. K. Krutitsky
Dr. N. Szpak
Blatt 10
Übung 1
(8 Punkte)
Ein Spin befindet sich zur Zeit t = 0 im Zustand |ψ(t = 0)i = |→i. Betrachten Sie die zeitliche Entwicklung dieses Zustands |ψ(t)i mit dem Hamilton-Operator Ĥ = ∆E σ̂z mit ∆E = const.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P↑ (t) bzw. P→ (t), nach der Zeit t bei einer Messung in zRichtung bzw. x-Richtung den Spin im Zustand |↑i (spin-up) bzw. |→i zu finden.
Hinweis: Nutzen Sie die Umrechnung zwischen den verschiedenen Basis-Systemen {|↑i , |↓i} und {|→i , |←i}
und stellen Sie den Zustand als |ψ(t)i = α(t) |↑i+β(t) |↓i dar. Setzen Sie diesen Ansatz in die SchrödingerGleichung ein, um eine Differentialgleichung für α(t) und β(t) zu erhalten, und lösen Sie diese.
Hinweis: Aus eix = cos(x) + i sin(x) folgt
cos(x) =
eix + e−ix
.
2
Zusatz: Berechnen Sie den zeitabhängigen Spin-Vektor
(4 Zusatzpunkte)
ˆ |ψ(t)i .
~ = 1 ~ hψ(t)| ~σ
S(t)
2
Übung 2
(6 Punkte)
Betrachten Sie ein Teilchen, das sich in einer Dimension in einem unendlich tiefen Potentialtopf
0, für 0 < x < L
V (x) =
∞, sonst
befindet. Lösen Sie die stationäre Schrödinger-Gleichung und finden Sie die Energieniveaus En (Eigenwerte des Hamiltonians) und die dazu gehörigen Eigenzustände ψn (x). Beachten Sie, dass diese normiert
R +∞
werden müssen, d.h. hψn |ψn i = −∞ |ψn |2 dx = 1.
R nπ 2
Hinweis: 0 sin (y) dy = nπ/2.
Zusatz: Überzeugen Sie sich, dass die Eigenzustände orthogonal sind, d.h. hψn |ψm i = 0 für n 6= m.
(2 Zusatzpunkte)
Übung 3
(6 Punkte)
2
Betrachten Sie eine Wellenfunktion in der Form ψ(x) = c(x2 + b)eax . Setzen Sie sie in die stationäre
Schrödinger-Gleichung mit V = κ2 x2 (harmonisches Oszillator) ein und berechnen Sie die Koeffizienten
a, b und die Energie E, indem Sie die Faktoren bei gleichen Potenzen von x vergleichen.
Zusatz: Berechnen Sie die Normierungskonstante c.
(2 Zusatzpunkte)
Bitte wenden!
Übung 4
(10 Punkte)
Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen (die Lösungen der Maxwell-Gleichungen sind)
a) e−iωt+ikx
b) cos(ωt − kx)
c) cos(ωt) cos(kx)
d) e−iωt cos(kx)
e) e−a
2
(x−vt)2
Lösungen der Schrödinger-Gleichung mit V = 0 darstellen. Falls ja, geben Sie die Beziehungen zwischen
ω und k (Dispersionsrelation) bzw. zwischen v und a an.
2