WS 2008/09 Präsenzübung zur Vorlesung Theoretische Physik III

WS 2008/09
Präsenzübung zur Vorlesung Theoretische Physik III (Quantenmechanik)
Universität Heidelberg, Prof. P. Schmelcher
Freitag, 16.1.2009
Aufgabe 1. Rabi Oszillationen
Die zeitabhängige Schrödingergleichung eines Atoms in einem (klassischen, d.h.
tisierten) Strahlungsfeld ist gegeben durch
HΨ(r, t) = i~
∂Ψ(r, t)
,
∂t
nicht quan-
(1)
wobei H = H0 + H 0 (t). H0 bezeichnet den zeitunabhängigen Hamiltonoperator eines freien
Atoms mit den Eigenwerten En = ~ωn und Eigenfunktionen φn (r). Die Wechselwirkung mit dem
Strahlungsfeld sei gegeben durch
H 0 (t). Entwickelt man die Lösung Ψ(r, t) nach den EigenfunkP
tionen φn (r), d.h. Ψ(r, t) = k ck (t)φk (r)e−iωk t , setzt dies in Gleichung (1) ein, multipliziert von
links mit φ∗j (r) und integriert über die Ortskoordinate r, so erhält man folgendes Gleichungssystem
für die (zeitabhängigen) Koeffizienten cj (t):
i~
dcj (t) X
0
=
ck (t)Hjk
(t)e−iωjk t
dt
(2)
k
0
mit Hjk
(t) ≡ hφj |H 0 (t)|φk i und ωjk ≡ ωj −ωk . Betrachtet man nun die Anregung eines Atoms mittels eines schmalbandigen Lasers, so kann die Summation in Gleichung (2) auf den Grundzustand
|gi und den angeregten Zustand |ei beschränkt werden,
dcg (t)
dt
dce (t)
i~
dt
i~
0
= ce (t)Hge
(t)e−iωa t
(3a)
0
= cg (t)Heg
(t)eiωa t ,
(3b)
wobei ωa ≡ ωeg die Frequenz des atomaren Übergangs bezeichnet. Der Wechselwirkungsoperator
ist durch H 0 (t) = −eE(r, t) · r gegeben. Für eine ebene Welle lautet das elektrische Feld E(r, t) =
0
(t) = ~Ω cos(ωl t), wobei die
E0 ˆ cos(k · r − ωl t) und das Kopplungselement reduziert sich zu Heg
räumliche Variation des elektrischen Feldes E(r, t) vernachlässigt wurde (dipole approximation)
0
und die Rabi Frequenz durch Ω ≡ −eE
~ he|r|gi definiert ist.
(a) Zeige, dass das Gleichungssystem (3) die Form (δ = ωl − ωa )
dcg (t)
dt
dce (t)
dt
iΩ iδt
e ce (t)
2
iΩ
= − e−iδt cg (t)
2
= −
(4a)
(4b)
annimmt, wenn man Terme proportional zu e±i(ωl +ωa )t vernachlässigt (Rotating Wave Approximation (RWA)).
(b) Wie lauten die entkoppelten Bestimmungsgleichungen für cg (t) und ce (t)?
(c) Löse das Gleichungssystem mit Hilfe des Ansatzes
cg (t)
ce (t)
=
=
0
0
(g1 eiΩ t/2 + g2 e−iΩ t/2 )eiδt/2
iΩ0 t/2
(e1 e
−iΩ0 t/2
+ e2 e
−iδt/2
)e
(5a)
(5b)
√
mit Ω0 = Ω2 + δ 2 , g1 , g2 , e1 , e2 ∈ R und den Anfangsbedingungen cg (t = 0) = 1, ce (t = 0) =
0. Mit welcher Frequenz oszillieren die Wahrscheinlichkeiten |cg (t)|2 und |ce (t)|2 das Atom im
Grundzustand |gi bzw. im angeregten Zustand |ei zu finden?
(bitte wenden)
In Anwesenheit des Strahlungsfeldes sind die φk nicht mehr Eigenzustände und die Ek nicht mehr
Eigenwerte des kompletten Hamiltonoperators H. Um die resultierenden Energieverschiebungen
zu bestimmen, eliminiert man zuerst die Zeitabhängigkeit von H 0 mittels der Transformation
c̃g (t) = cg (t), c̃e (t) = ce (t)eiδt .
(d) Wie lautet das transformierte Gleichungssystem?
(e) Stelle die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems auf, und bestimme die Energien durch
Diagonlisierung dieser Matrix. Die resultierenden Differenzen zu den ungestörten Energien
heißen Light Shifts.
Die zugehörigen Eigenvektoren können als eine Rotation der entkoppelten Zustände geschrieben
werden,
|+i =
|−i =
sin θ|gi + cos θ|ei
cos θ|gi − sin θ|ei ,
(6a)
(6b)
wobei der Stückelberg Winkel θ durch tan 2θ = −Ω/δ (0 ≤ θ < π/2) gegeben ist. Die Zusände |±i
heißen Dressed States.
3 Punkte