Differentiationsregeln 01 – Lösungen der Aufgaben zur Kettenregel

Differentiationsregeln 01 – Lösungen der Aufgaben zur Kettenregel
Lösungen zu Aufgabe 3
Anmerkung zur Exponentialfunktion: sei α eine beliebige reelle Zahl, dann gilt
1
e   
e
Weiter gelten folgende Beziehungen:
für x  0 : eln(x )  x, für alle reellen Zahlen x : ln(e x )  x
(3a) f ( x)  e x  f ' ( x)  e x
(3b) f ( x)  e g ( x )  f ' ( x)  e g ( x )  g ' ( x)
 
(3c) f ( x)  e 2 x  f ' ( x)  e 2 x  e 2 x   2 x   e 2 x  (2)  2e 2 x
'
(3d) f ( x) 
1
e
x
2
'
   e   x   e
 e x  f ' ( x)  e x
2
2
'
2 '
x2


'
x2

 (2 x)  2 xe  x 
2
 2 x  cos( x 2 )  esin(x
2
2
2
ex
 
(3e) f ( x)  esin(x )  f ' ( x)  esin(x )  sin( x 2 )  esin(x )  cos( x 2 )  x 2
2
 2x
'
)
(3f) f ( x)  x x  e xln(x )  f ' ( x)  e xln(x )  x  ln( x)   e xln(x )  x' ln( x)  x  (ln( x)'
'
1

 e xln(x )   ln( x)  x    e xln(x )  1  ln( x)   x x  1  ln( x) 
x

Hierbei wurde die Produktregel verwendet:
 f ( x)  g ( x)' 
f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)
(3g) f ( x)   ln(cos x)  f ' ( x)  
Hier wurde verwendet:
f ( x)  ln( x)  f ' ( x) 
1
x
1
1
sin x
 (cos x)'  
 ( sin x) 
 tan x
cos x
cos x
cos x
2