2015-1 Abiturprüfung Mathematik 2015 (Baden

Abiturprüfung Mathematik 2015 (Baden-Württemberg)
Pflichtteil
Aufgabe 1
Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f (x) = (4 + e 3x ) 5 .
Aufgabe 2
π
⎛ 1 ⎞⎞
(2 VP)
Lösen Sie die Gleichung (x3 – 3x) ⋅ (e2x – 5) = 0.
(3 VP)
Berechnen Sie das Integral
⎛
(2 VP)
∫ ⎜⎝ 4x − sin ⎜⎝ 2 x ⎟⎠ ⎟⎠ dx.
0
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat im Ursprung einen
Hochpunkt und an der Stelle x = 2 die Tangente mit der Gleichung y = 4x – 12.
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f.
(4 VP)
Aufgabe 5
Die Abbildung zeigt den Graphen
der Ableitungsfunktion f ' einer
ganzrationalen Funktion f.
Entscheiden Sie, ob die folgenden
Aussagen wahr oder falsch sind.
Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
(1) Der Graph von f hat bei
x = –3 einen Tiefpunkt.
(2) f(–2) < f(–1)
(3) f ''(–2) + f '(–2) < 1
(4) Der Grad der Funktion f ist
mindestens vier.
(5 VP)
Aufgabe 6
Gegeben sind die drei Punkte A(4 | 0 | 4), B(0 | 4 | 4) und C(6 | 6 | 2).
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck ABC zu einem
Parallelogramm ergänzt.
Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt.
2015-1
(4 VP)
Aufgabe 7
Gegeben ist die Ebene E: 4x1 + 3x3 = 12.
a) Stellen Sie E in einem Koordinatensystem dar.
b) Bestimmen Sie alle Punkte der x3-Achse, die von E den Abstand 3 haben.
(3 VP)
Aufgabe 8
Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden:
Grün: 30 %
Blau: 50 %
Rot: 20 %
Das Glücksrad wird n-mal gedreht.
Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird.
a) Begründen Sie, dass X binomialverteilt ist.
Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X:
k
P(X = k)
0
1
2
3
4
5
6
7
…
0,01
0,06
0,14
0,21
0,22
0,17
0,11
0,05
…
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird.
c) Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von n der Tabelle zugrunde
liegen kann: 20, 25 oder 30.
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
(4 VP)
Aufgabe 9
4
Mit V = π
⎛
1 ⎞2
dx wird der Rauminhalt eines Körpers berechnet.
∫ ⎜⎝ 4 − 2 x ⎟⎠
0
Skizzieren Sie diesen Sachverhalt und beschreiben Sie den Körper.
2015-2
(3 VP)
Lösung
Aufgabe 1
Die Ableitung der Funktion f mit f (x) = (4 + e 3x ) 5 erhält man unter Verwendung der Kettenregel:
f '(x) = 5 ⋅ (4 + e 3x ) 4 ⋅ e 3x ⋅ 3 = 15 ⋅ e 3x ⋅ (4 + e 3x ) 4 .
Aufgabe 2
π
⎛
⎡
⎛ 1 ⎞⎞
1
2
0
π
π
⎛ 1 ⎞ ⎤ = ⎡ 2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ cos ⎛ 1 x ⎞ ⎤
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 0
⎣⎢
0
1
∫ ⎜⎝ 4x − sin ⎜⎝ 2 x ⎟⎠ ⎟⎠ dx = ⎢⎣4 ⋅ 2 x 2 + 1 ⋅ cos ⎜⎝ 2 x ⎟⎠⎥⎦
π
= ⎛⎜ 2π 2 + 2 ⋅ cos ⎛⎜ ⎞⎟ ⎞⎟ − (0 + 2 ⋅ cos(0)) = 2π 2 − 2.
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
=1
=0
r Beachte: Eine Stammfunktion von f mit f(x) = sin (k ⋅ x) ist F mit F(x) = −
1
⋅ cos(k ⋅ x).
k
Aufgabe 3
Es gilt
(x 3 − 3x) ⋅ (e 2x − 5) = 0
genau dann, wenn einer der beiden Faktoren null ergibt:
x 3 − 3x = 0;
x1 = 0; x 2; 3 = ± 3.
x ⋅ (x 2 − 3) = 0;
1
ln(5).
2
1
Die Gleichung hat die Lösungsmenge L = − 3; 0; ln(5);
2
e 2x − 5 = 0;
x4 =
e 2x = 5; 2x = ln(5);
{
}
3 .
Aufgabe 4
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat eine Funktionsgleichung der Form:
f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d.
Für den Graphen von f gilt:
• Er hat im Ursprung einen Hochpunkt, d. h.
(2) f '(0) = 0;
(1) f(0) = 0
• Die Gerade y = 4x – 12 ist Tangente an der Stelle x = 2, d. h.
(4) f '(2) = 4.
(3) f(2) = 4 ⋅ 2 – 12 = – 4
r Anmerkung zu (3): Da der Berührpunkt B(2 | f(2)) auch auf der Tangente liegt, kann man den
r Funktionswert f(2) mithilfe der Tangentengleichung berechnen.
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