Mechanik II Lösungen 03

Mechanik II Lösungen 03
Euler-Lagrange Gleichungen, Rotierendes Bezugssystem
1. Zwei wichtige Eigenschaften der Euler-Lagrange Gleichungen
(a) “Eichinvarianz”
Mit
X ∂F
d
∂F
q̇ a +
F(q, t) =
a
dt
∂q
∂t
a
und
∂ d
∂F
F(q, t) = a
∂ q̇ a dt
∂q
⇒
(1)
d ∂
∂ d
= a
a
dt ∂q
∂q dt
(2)
X
d
∂
∂
=
+
q̇ b b + . . .
dt
∂t
∂q
(3)
(dies folgt daraus dass
b
eine Summe von Operatoren ist die jeder für sich mit ∂/∂q a kommutieren)
sieht man dass
d ∂
∂
d
d ∂
∂ d
− a
F=
F− a F ≡0
(4)
a
a
dt ∂ q̇
∂q
dt
dt ∂q
∂q dt
identisch erfüllt ist, der Term (d/dt)F also keinen Beitrag zu den EulerLagrange Gleichungen liefert.
(b) “Forminvarianz” oder “Koordinateninvarianz”
Mit
q a = q a (q̄ b , t)
⇒
q̇ a =
X ∂q a
b
∂ q̄
q̄˙b +
b
∂q a
∂t
⇒
∂ q̇ a
∂q a
=
∂ q̄ b
∂ q̄˙b
(5)
und
˙ t) = L(q(q̄, t), q̇(q̄, q̄,
˙ t), t)
L̄(q̄, q̄,
(6)
und der Identität (2) (für q̄ b anstelle von q a ) hat man (Summation über a )
d ∂ L̄
∂ L̄
d ∂L ∂ q̇ a
∂L ∂q a
∂L ∂
−
=
− a b q̇ a
−
dt ∂ q̄˙b ∂ q̄ b
dt ∂ q̇ a ∂ q̄˙b
∂q a ∂ q̄ b
∂ q̇ ∂ q̄
d ∂L ∂q a
∂L ∂q a
∂L ∂ d
=
−
− a b qa
a
a
b
b
dt ∂ q̇ ∂ q̄
∂q ∂ q̄
∂ q̇ ∂ q̄ dt
a
(7)
d ∂L
∂L ∂q
∂L d ∂ a
∂ d a
=
+ a
q − b q
−
dt ∂ q̇ a ∂q a ∂ q̄ b
∂ q̇
dt ∂ q̄ b
∂ q̄ dt
a
∂L ∂q
d ∂L
=
− a
a
dt ∂ q̇
∂q
∂ q̄ b
Da die Jacobi-Matrix (nach Annahme) invertierbar ist, folgt
d ∂ L̄
∂ L̄
−
= 0 ∀a
dt ∂ q̄˙a ∂ q̄ a
1
⇔
d ∂L
∂L
−
= 0 ∀a
dt ∂ q̇ a ∂q a
(8)
2. Scheinkräfte in einem rotierendem Bezugssystem
Aus
x0 = x cos ωt − y sin ωt
⇒ ẋ0 = ẋ cos ωt − ωx sin ωt − ẏ sin ωt − ωy cos ωt
y 0 = x sin ωt + y cos ωt
⇒ ẏ 0 = ẋ sin ωt + ωx cos ωt + ẏ cos ωt − ωy sin ωt
(9)
folgt einfach durch Einsetzen in
1
L = m(ẋ02 + ẏ 02 )
2
(10)
dass die Lagragefunktion im rotierenden Bezugssystem
1
L(x, y, ẋ, ẏ) = m(ẋ2 + ẏ 2 ) + 12 mω 2 (x2 + y 2 ) + mω(xẏ − y ẋ)
2
(11)
ist. Zusätzlich zu dem üblichen kinetischen Term treten hier 2 “Scheinpotentiale”
auf, die zu Scheinkräften in den Euler-Lagrange Bewegungsgleichungen führen,
!
!
!
ẍ
ẏ
2 x
m
= mω
+ 2mω
(12)
ÿ
y
−ẋ
Der Faktor 2 im letzten Term resultiert aus
∂
d ∂
−
mω(xẏ − y ẋ) = −2mω ẏ
dt ∂ ẋ ∂x
d ∂
∂
−
mω(xẏ − y ẋ) = +2mω ẋ
dt ∂ ẏ ∂y
(13)
Der erste Term auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung ist eine radial nach
aussen gerichtete abstossende Kraft (Zentrifugalkraft), der zweite eine geschwindigkeitsabhängige und orthogonal zur Geschwindigkeit (ẋ, ẏ) wirkende Kraft (Corioliskraft).
2