Numerische Mathematik 2 - Institut für Mathematik

Numerische Mathematik 2
(SoSe 2016)
7. Übungsblatt
Abgabe: 03.06.2016
Aufgabe 1
(a) Schreiben Sie das Anfangswertproblem 3. Ordnung
p
y 000 (t) = t2 + 1y 00 (t) − 12y 0 (t)y(t) + t − 9,
y(0) = 1, y 0 (0) = 17, y 00 (0) = 0
um in ein (äquivalentes) System 1. Ordnung und geben Sie die zugehörige Anfangsbedingung an.
(b) Gegeben Sei das Anfangswertproblem
y 0 (t) = (1 + |y(t)|)−1 ,
y(0) = 0.
Zeigen Sie die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung y(t) auf ganz [0, 10].
Aufgabe 2
Für ein Anfangswertproblem
y 0 (t) = f (t, y(t)),
y(t0 ) = y0
kann man zur Näherung an die exakte Lösung die sogenannte Picard-Lindelöf-Iteration verwenden:
Z t
y (k+1) (t) = y0 +
f (τ, y (k) (τ )) dτ,
k = 0, 1, 2, . . . .
t0
Es ist naheliegend y (0) ≡ y0 zu verwenden.
(a) Bestimmen Sie eine Approximation an die Lösung der Riccati-Differentialgleichung
y 0 (t) = y(t)2 + t2 ,
y(0) = 0,
indem Sie drei Iterationsschritte durchführen.
(b) Lösen Sie das Anfangswertproblem
y 0 (t) = [y10 (t), y20 (t), y30 (t)]T = [y1 (t)y3 (t), −y2 (t)y3 (t), 1]T ,
y(0) = [1, 1, 0]T ,
mit Hilfe der Picard-Lindelöf-Iteration. Raten Sie dazu eine Lösung, nachdem Sie ein paar Schritte
ausgeführt haben, und zeigen Sie, dass diese Funktion das Anfangswertproblem löst.
Prof. Dr. Roland Griesmaier • Dipl.-Math. Christian Schmiedecke
Julius-Maximilians-Universität • Institut für Mathematik • Emil-Fischer-Str. 30 • 97074 Würzburg
www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼griesmaier/teaching/NumerikII2016.html
Programmieraufgabe
Es soll die Bewegung eines Doppelpendels simuliert werden:
(Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum)
Die zugehörigen Bewegungsgleichungen (für den Fall L1 = L2 = 1, m1 = m2 = 1) lauten
−3g sin θ1 − g sin (θ1 − 2θ2 ) − 2[(θ20 )2 − (θ10 )2 cos(θ1 − θ2 )] sin (θ1 − θ2 )
,
3 − cos (2θ1 − 2θ2 )
2[2(θ10 )2 + 2g cos θ1 + (θ20 )2 cos (θ1 − θ2 )] sin (θ1 − θ2 )
θ200 =
,
3 − cos (2θ1 − 2θ2 )
θ100 =
wobei g = 9.81 die Fallbeschleunigung bezeichnet.
(a) Schreiben Sie MATLAB-Funktionen
[t1, y1] = explEuler(f, t0, y0, h),
[t1, y1] = implEuler(f, t0, y0, h, J),
[t1, y1] = CrankNicolson(f, t0, y0, h, J),
zur numerischen Lösung eines Anfangswertproblems
y 0 (t) = f (t, y(t)),
y(t0) = y0,
die jeweils einen Schritt des expliziten bzw. impliziten Euler-Verfahrens oder des Crank-NicolsonVerfahrens mit Schrittweite h durchführen. Bei den impliziten Methoden soll eine Funktion J
übergeben werden, die den Wert der Jacobi-Matrix von f zurückgibt. Zur Lösung der auftretenden nichtlinearen Gleichungen sollen jeweils 5 Schritte des Newton-Verfahrens durchgeführt
werden.
(b) Wandeln Sie die Bewegungsgleichungen für das Doppelpendel in ein äquivalentes System 1. Ordnung um und lösen Sie dieses mit den implementierten Methoden für verschiedene Anfangsbedingungen und Schrittweiten. Stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar und vergleichen Sie die
verschiedenen Verfahren.
Prof. Dr. Roland Griesmaier • Dipl.-Math. Christian Schmiedecke
Julius-Maximilians-Universität • Institut für Mathematik • Emil-Fischer-Str. 30 • 97074 Würzburg
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