Der schräge Wurf

Der schräge Wurf
Wir setzen im folgenden voraus, dass ein Körper unter dem Winkel ϕ
zur Horizontalen mit der Geschwindigkeit v0 aus der Anfangshöhe h
geworfen wird. Es sollen keine Reibungseffekte berücksichtigt werden. Außer der Gravitationskraft sollen keine weiteren Kräfte auf den
Körper einwirken (etwa Windkraft o.ä.). In diesem Fall kann das
Problem zweidimensional behandelt werden, indem wir die Bewegung
r
i
in der x-y-Ebene stattfinden lassen. Die horizontale Richtung
sei
r
(d.h. entspricht der x-Achse), die vertikale Richtung j (y-Achse).
Damit lauten die Anfangsbedingungen folgendermaßen:
r
r
r
r (t = t 0 ) = r0 = h j
r
r
r
r
v(t = t 0 ) = v 0 = v 0 (cos ϕ i + sin ϕ ) j
Der Körper befindet sich unter der Einwirkung der vertikalen Gravitationskraft. Die Beschleunigung sei räumlich und zeitlich konstant:
r
r
r
a (t ) = const. = g = −g j
Allgemein erhält man die Geschwindigkeit mittels der Relation
t
r
r
r
v( t ) = ∫ a ( t ' )dt ' + v( t 0 )
t0
Die Vektorgleichung zerlegt man in Komponenten und integriert die
Gleichung für die x- und y-Komponente getrennt. Man erhält:
v x = v 0 cos ϕ
v y = −gt + v 0 sin ϕ
Die Abhängigkeit des Ortes von der Zeit ergibt sich durch Integration
von
t
r
r
r
r ( t ) = ∫ v( t ' )dt '+ r0 ( t 0 )
t0
Dies führt auf folgende Komponentendarstellung für den Ort:
x = x 0 + v 0 t cos ϕ
y = h + v 0 t sin ϕ −
g 2
t
2
In den folgenden beiden Abbildungen sind die Funktionen x(t) und
vx(t) sowie y(t) zusammen mit vy(t) grafisch dargestellt. Die Kurven
wurden für eine Abwurfhöhe von 2m, eine Anfangsgeschwindigkeit
von 20m/s und einen Abwurfwinkel von 60° berechnet (x0 = 0). Es
könnte sich um die Flugbahn eines Sektkorkens handeln.
45
x/m
35
12
30
10
25
8
20
6
15
4
10
2
5
0
Geschwindigkeit / (m/s)
14
40
0
0
1
2
3
4
5
Zeit / s
Wurfweite / m
Horizontalgeschwindigkeit
20
30
15
10
10
y/m
5
0
-5
0
0
1
2
3
4
5
-10
-10
-20
-15
-20
-30
Zeit / s
y(t)
Tangentialgeschwindigkeit
Vertikalgeschwindigkeit
Geschwindigkeit / (m/s)
20
In der zweiten Grafik ist noch der Betrag der resultierenden
Tangentialgeschwindigkeit---- v =
v 2x + v 2y
aufgetragen.
Aus den beiden Grafiken geht hervor, dass sich der geworfene Körper
in horizontaler Richtung geradlinig gleichförmig und in vertikaler
Richtung gleichmäßig beschleunigt bewegt. Das Bahnmaximum wird
unter der Bedingung vy = 0 erreicht. Aus dieser Bedingung ergibt sich
für die Flugzeit bis zum Erreichen des Maximum
tm =
v0
sin ϕ
g
Durch Einsetzen in die Beziehung y(tm) = ymax erhält man die maximale Flughöhe zu
y max
v 02
=h+
sin 2 ϕ
2g
Für das angeführte Beispiel sind das tm = √3 s und ymax = 17 m (vergleiche Grafik). Die Tangentialgeschwindigkeit im Scheitelpunkt
muss gleich der Horizontalgeschwindigkeit von vmax = vx = 10 m/s
sein.
Die Flugbahn (Trajektorie) ist der Zusammenhang y(x). Man erhält
ihn aus den Gleichungen für y(t) und x(t), indem man t eliminiert. In
der folgenden Grafik ist die Flugparabel y(x) sowie die Tangentialund Vertikalgeschwindigkeit als Funktion von x dargestellt:
30
20
15
Höhe / m
10
10
5
0
0
-5
0
10
20
30
40
50
-10
-10
Geschwindigkeit / (m/s)
20
-20
-15
-20
-30
Wurfweite / m
Wurfhöhe
Tangentialgeschwindigkeit
Vertikalgeschwindigkeit
Die Bahngleichung lautet für x0 = 0:
y=−
g
2
+ x tan ϕ + h
x
2
2
2 v 0 cos ϕ
Mittels dieser Gleichung kann die Wurfweite aus der Bedingung y = 0
berechnet werden. Man erhält

v 02
2gh 
x m = cos ϕ sin ϕ + sin 2 ϕ + 2 
g
v0 

Im oberen Beispiel erhält man eine Flugweite von etwa 36m. Mittels
der letzten Gleichung kann man die Frage beantworten, unter welchem Winkel man einen Körper abwerfen muss, damit die Flugweite
maximal wird. Dazu muss die Extremwertaufgabe
dx m (ϕ)
=0
dϕ
gelöst werden. Für den vereinfachten Fall h = 0 erhält
man aus der Gleichung sinϕ = cosϕ den Winkel ϕmax = 45°. In der folgenden Grafik ist die Reichweite (y = 0) für unser Beispiel aufgetragen:
45
40
Reichweite / m
35
30
25
20
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
Abwurfwinkel / Grad
Für 45° erhält man xm = 41,9 m, für 60° xm = 35,8m. Im Falle eines
waagerechten Wurfes fliegt der Körper lediglich 12,6m.