Übungsblatt 3

Institut für Physikalische
und Theoretische Chemie
Prof. Dr. G. Stock
Übungen zur Vorlesung Theoretische Chemie I
Blatt 3
SS 2009
Ausgabe: 5.5.2009
Rückgabe: 12.05.2009
Besprechung: 14.05.2009
1. Präsenzaufgabe: Ebene Welle
Der Hamilton-Operator charakterisiert das System, das Lösen der SchrödingerGleichung gibt uns die Wellenfunktion, die die Bewegung des Systems beschreibt.
1. Wie lautet der Hamilton Operator für ein freies Teilchen?
2. Wie lautet dann die Schrödinger-Gleichung?
3. Nehmen Sie als Lösungsansatz die ebene Welle: Ψ(x, t) = e−i(ωt−kx) . Welche
Relation erhält man für den Wellenvektor k und die Kreisfrequenz ω (Dispersionsrelation)?
2. Präsenzaufgabe: Kommutatoren
Der Kommutator Â, B̂ besagt, wie die Reihenfolge der Anwendung der Operatoren
Â und B̂ vertauscht werden darf.
1. Wann ist die Vertauschung trivial, das heisst, dass zwei Operatoren kommutieren?
2. Wie berechnet man den Kommutator? Als Beispiel: Zeige, das die Relationen
ÂB̂, Ĉ = Â, Ĉ B̂ + Â B̂, Ĉ
Â, B̂ = − B̂, Â
gelten.
3. Berechnen Sie für das eindimensionale
mit dem Hamilton-Operator
System
2
Ĥ = p̂ /2m + V (x) den Kommutator Ĥ, x̂ .
3. Gemischtes
In der Quantenmechanik wird ein Teilchen durch eine Wellenfunktion Ψ(x) beschrieben. Physikalische Grössen werden zu Operatoren, die auf die Wellenfunktion
wirken.
1. Welche Bedingungen muss eine Wellenfunktion erfüllen, um physikalisch sinnvoll zu sein, d.h., ein physikalisches System beschreiben zu können?
2. Wie hängen Wellenfunktion und Aufenthaltswahrscheinlichkeit zusammen?
3. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im Raum zu finden, ist gleich
1: Wie schreibt man das mathematisch?
4. Wie wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, das Teilchen in einem Teilbereich
C1 des Raumes zu finden?
5. Durch welche Operatoren werden in der Quantenmechanik Ort und Impuls
ersetzt?
6. Welche Operatoren repräsentieren physikalische Observablen?
7. Wie stellen sich Orts- und Impulsoperator jeweils im Orts- und Impulsraum
dar?
4. Harmonischer Oszillator
Wir kennen die Hamilton-Funktion für den harmonischen Oszillator aus der klassischen Mechanik:
1
p2
+ mω 2 x2
H(x, p) =
2m 2
1. Schreiben Sie den quantenmechanischen Hamilton-Operator aus. Benutzen Sie
dabei die Ortsdarstellung.
2. Zeigen Sie, das der Hamilton Operator linear ist.
3. Zeigen Sie, unter welchen Umständen (d.h. für welche Konstante A) die Wellenfunktion
ip0 x
(x − x0 )2
exp −
Ψ(x) = A exp −
2a2
~
eine Lösung für die Schrödinger-Gleichung mit dem oben formulieren HamiltonOperator ist. Tipp: Nehmen Sie hierzu an, dass der mittlere Impuls Null ist.
Was folgt in diesem Fall für den mittleren Ort x0 ?