Quantenmechanik H. Spiesberger 8. Übungsblatt Ausgabe

Theoretische Physik 3 — Quantenmechanik
H. Spiesberger
8. Übungsblatt
Ausgabe: 14.12.2016
Abgabe: 23.12.2016
Besprechung: 9.-13.1.2017
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Aufgabe 15. Beschränkte Operatoren (7 Punkte) Ein linearer Operator A heißt
beschränkt, wenn seine Operatornorm ||A|| endlich ist:
||A|| =
||Aψ||
< ∞.
ψ∈H\{0} ||ψ||
sup
(a) Zeigen Sie: ||AB|| ≤ ||A|| · ||B|| und ||A|| = 0 ⇔ A = 0.
(1)
2P
Betrachten Sie zwei Operatoren A und B mit der Vertauschungsrelation
[A, B] = c · 1
wobei
c 6= 0, c ∈ C.
(2)
(b) Folgern Sie aus Gleichung (2), dass B n 6= 0 für alle n ∈ N gilt, indem Sie die Norm
des Operators [A, B n ] betrachten. (Hinweis: Beachten Sie Aufgabe 10.)
1P
(c) Zeigen Sie, dass die Annahme, A und B seien beide beschränkt, mit Gl. (2) im
Widerspruch steht.
1P
Fazit: Die kanonischen Vertauschungsrelationen der Quantenmechanik, [Pj , Qk ] = −i~δjk ,
lassen sich nicht erfüllen, wenn sowohl Pj als auch Qj beschränkte Operatoren sein sollen.
(d) Diskutieren Sie die Beschränkheit von Orts- und Impulsoperator am Beispiel des
Hilbertraums der Zustände eines Teilchens im Kastenpotential mit unendlich hohen
Wänden (V (~x) = 0 für ~x ∈ D = [0, L]d , V (~x) = ∞ sonst).
3P
Hinweis: Die Wellenfunktionen müssen nicht explizit hergeleitet werden, sondern
verallgemeinern Sie die Lösungen für den 3-dimensionalen Kasten (siehe Vorlesung)
auf d Dimensionen. Berechnen Sie dann ||Xi || und ||Pi || (i = 1, ..., d).
Aufgabe 16. Erzeugende Funktion der Hermite-Polynome (5 Punkte) Die Funktion
2
F (s; x) = e2sx−s
(3)
bezeichnet man als erzeugende Funktion der Hermite-Polynome, da ihre Potenzreihenentwicklung in der Variablen s die Hermite-Polynome als Koeffizienten enthält:
∞
X
Hn (x)sn
.
(4)
dk
Hk (x) = k F (s; x)
ds
s=0
(5)
F (s; x) =
n=0
n!
Man kann also die Polynome Hk (x) gemäß
aus F (s; x) „erzeugen“. Zeigen Sie mit Hilfe der erzeugenden Funktion F (s; x) die folgenden
Eigenschaften der Hermite-Polynome:
(a) Hn0 (x) = 2 n Hn−1 (x) ;
1P
(b) Hn+1 − 2 x Hn + 2 n Hn−1 = 0 ;
2P
(c) Hn00 − 2 x Hn0 + 2 n Hn = 0 ;
R∞
√
2
(d) −∞ dx Hn (x)Hm (x)e−x = 2n n! π δn,m .
1P
1P
Aufgabe 17. Kohäherente Zustände (5 Punkte) Wir betrachten ein Teilchen im Oszillatorpotential V (x) = mω 2 x2 /2, das zur Zeit t = 0 durch eine Wellenfunktion beschrieben wird, die der um x0 verschobenen Grundzustandswellenfunktion Ψ0 (x) entspricht:
r
mω
x0
(6)
Ψξ (x) = Ψ0 (x − x0 )
mit
ξ=
2~
(a) Zeigen Sie, dass sich die Verschiebung einer Wellenfunktion durch den Translationsoperator Tx0 ausdrücken lässt, gemäß:
1P
Tx0 Ψ(x) = e−ix0 P/~ Ψ(x) = Ψ(x − x0 )
(7)
(b) Zeigen Sie, dass sich die Wellenfunktion Ψξ als Überlagerung von Energieeigenzuständen, d.h. als folgende Linearkombination schreiben lässt:
Ψξ (x) = e
−ξ 2 /2
∞
X
ξn
√ Ψn (x).
n!
n=0
(8)
Zerlegen Sie dazu den Impulsoperator in Auf- und Absteigeoperatoren und nutzen
Sie die Baker-Hausdorff-Formel (siehe Aufgabe 10).
1P
(c) Zeigen Sie, dass sich die Zeitentwicklung des Zustands zu
Ψξ (x, t) = e−iωt/2 eξ
2 (e−2iωt −1)/2
Ψ0 (x − x0 e−iωt )
(9)
ergibt und dass man daraus die Wahrscheinlichkeitsdichte
|Ψξ (x, t)|2 = |Ψ0 (x − x0 cos(ωt))|2
(10)
erhält. Die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Zustände behält also ihre Form und zerfließt nicht, sondern schwingt mit der Frequenz ω um den Ursprung. Solche Zustände
werden kohärent genannt und beschreiben also am ehesten klassische Teilchen im
Oszillatorpotential.
3P
Bitte notieren Sie die Zeit, die Sie für die Bearbeitung der Übungsaufgaben benötigt
haben.